Exercice 2 — Le meuble pour téléviseur

Sujet

Dans cet exercice, on s'intéresse à un petit meuble pour télévision dont on donne deux photos ci-dessous :

fig. 1

fig. 2

Les deux plateaux sont assimilés à deux rectangles ayant tous les deux les mêmes dimensions : 50 cm de longueur et 35 cm de largeur.
Le plateau supérieur peut pivoter autour d'un axe passant par le centre des deux plateaux.
Sur la figure 1, le plateau supérieur est en position initiale.
Sur la figure 2, le plateau supérieur a tourné d'un certain angle par rapport à sa position initiale.
Pour la suite, on précise que :

• on néglige l'épaisseur des plateaux ainsi que l'espace présent entre le plateau inférieur et le plateau supérieur,
• on fait tourner le plateau supérieur dans le sens des aiguilles d'une montre.
  La figure 3 ci-contre schématise la situation de la figure 2 :
• le rectangle ABCD représente le plateau inférieur, avec \(A B=50 \mathrm{~cm}\) et \(B C=35 \mathrm{~cm}\),
• le rectangle A'B'C'D' représente le plateau supérieur ayant tourné d'un angle \(\alpha\), dans le sens des aiguilles d'une montre, par rapport à sa position initiale \(\left(\alpha=\widehat{B O B^{\prime}}=\widehat{C O C^{\prime}}=\widehat{D O D^{\prime}}=\widehat{A O A^{\prime}}\right.\)
• le point O est le centre des rectangles ABCD et \(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}\)

fig. 3

Première partie

Le meuble est placé dans l'angle d'une pièce, comme indiqué sur la figure 4 (le côté [AD] est parallèle au MUR 1 et le côté [AB] est parallèle au MUR 2).

Déterminer à quelles distances minimales \(d_{1}\) et \(d_{2}\) on doit placer le meuble pour que le plateau supérieur puisse tourner sans buter contre les murs (arrondir les résultats au mm).