Exercice 3 — Le tour de magie

Sujet

Voici un algorithme en langage naturel (algorithme 1) :

« Choisir un nombre entier naturel à trois chiffres deux à deux distincts. Écrire tous les nombres entiers naturels possibles à deux chiffres, composés des chiffres du nombre précédent, puis les additionner. Diviser la somme obtenue par la somme des chiffres du nombre initial et annoncer le résultat. »

Voici un algorithme transcrit dans un langage de programmation (algorithme 2) :

VARIABLES
    c EST_ DU_ TYPE NOMBRE
    d EST_ DU_ TYPE NOMBRE
    u EST_ DU_ TYPE NOMBRE
    S1 EST_ DU_ TYPE NOMBRE
    S2 EST_ DU_ TYPE NOMBRE
    R EST_ DU_ TYPE NOMBRE
DEBUT ALGORITHME
    LIRE c 
    LIRE d
    LIRE u
    S1 PREND_LA_VALEUR (10* c +d)+(10* d + c)+(10* c + u)+(10* u +c)+(10* d + u)+(10* u +d)
    S2 PREND_LA_VALEUR c+d+u
    R PREND_LA_VALEUR S1/S2
    AFFICHER R
FIN_ALGORITHME

1. Choisir un nombre entier naturel quelconque, s'écrivant avec trois chiffres distincts deux à deux. Vérifier que chacun des deux algorithmes donne le même résultat avec ce nombre.
2. Recommencer avec deux autres entiers naturels, s'écrivant avec trois chiffres deux à deux distincts. Que peut-on conjecturer sur le résultat obtenu avec un nombre de départ quelconque?
3. Démontrer votre conjecture pour un nombre initial de trois chiffres deux à deux distincts.
4. a) Donner tous les nombres entiers naturels distincts à deux chiffres, composés avec les chiffres du nombre 424 , puis faire fonctionner l'algorithme 1 en français pour 424
   b) Faire fonctionner l'algorithme 2 pour le nombre 424 .
   c) Expliquer les différences observées.

Dans les questions suivantes, on continue toujours de former des nombres à deux chiffres à partir de ceux du nombre initial, dont on suppose les chiffres deux à deux distincts.
5. a) Qu'obtient-on pour des nombres entiers naturels initiaux à deux chiffres ?

Démontrer votre affirmation.
b) Même question pour des nombres entiers initiaux à quatre chiffres.
6. Que peut-on conjecturer si l'on choisit un entier initial à 5 chiffres ? à \(n\) chiffres ?