Exercice 2 — Les trois cercles et l'ogive

Sujet

Sur la figure suivante, ABCD est un carré de côté 48 . On a tracé le quart de cercle de centre A passant par B et le quart de cercle de centre B passant par A . Chacun des trois cercles tracés est tangent aux deux quarts de cercle.
[0pt] Le grand cercle est aussi tangent au côté [AB] en I ; on note E son centre et \(r\) son rayon.
[0pt] Le moyen cercle est aussi tangent au côté [AD] en J ; on note F son centre et \(s\) son rayon.
[0pt] Le petit cercle est aussi tangent au côté [DC] en K ; on note G son centre et \(t\) son rayon.
Note : on dit que deux cercles sont tangents en un point s'ils admettent la même tangente en ce point.

1. Soit R le point de contact du grand cercle avec l'arc BD .
   a) Exprimer \(A E^{2}\) en fonction de \(r\).
   b) Démontrer que les points A , E et R sont alignés.
   c) En déduire la valeur du rayon \(r\) du grand cercle.
2. Par une méthode analogue à celle de la question 1 , calculer le rayon \(t\) du petit cercle (on pourra faire intervenir le point de contact T du petit cercle avec l'arc BD ).
3. Soit \(\mathrm{S}_{1}\) et \(\mathrm{S}_{2}\) les points de contact respectifs du moyen cercle avec les arcs AC et BD .