Sujet
- Les entiers de 1 à 10 sont placés aux sommets et sur les côtés d'un pentagone, de sorte que la somme \(S\) des entiers associés à chaque côté (celui placé sur le côté du pentagone et les deux placés sur les sommets qui délimitent ce côté) soit la même pour chaque côté.
La figure ci-contre donne un exemple pour lequel la somme \(S\) est égale à 16 .
a) Pour un placement possible, quelle est la plus petite somme \(S\) que l'on peut obtenir?
b) Donner un exemple de tel placement.
Dans la suite, pour n entier supérieur ou égal à 3, on place lorsque c'est possible les entiers de 1 à aux sommets et sur les côtés d'un polygone à \(n\) côtés, de sorte que la somme \(S\) des entiers associés à chaque côté (celui placé sur le côté du polygone et les deux placés sur les sommets qui délimitent ce côté) soit la même pour chaque côté.
2. Dans chacun des cas suivants, montrer que le placement est possible, et donner une configuration pour laquelle la somme S est minimale :
а) \(n=3\);
b) \(n=4\).
3. Dans cette question, on suppose que le placement est possible.
Montrer que l'on a : \(\frac{5 n+3}{2} \leqslant S \leqslant \frac{7 n+3}{2}\).
(On pourra utiliser l'égalité \(1+2+\cdots+N=\frac{N(N+1)}{2}\), valable pour tout entier \(N \geqslant 1\).)
4. Dans cette question, on suppose que \(n\) est impair, et l'on pose \(n=2 k+1\), avec \(k\) entier et \(k \geqslant 1\).
Indiquer une façon de disposer les entiers de 1 à \(2 n\) de sorte que la configuration soit possible, et que la somme \(S\) soit minimale. (On pourra faire un schéma.)
- a) La somme des nombres placés sur les cinq côtés est égale à \(5 S\). Elle est aussi égale à la somme de tous les entiers de 1 à 10 , augmentée de celle des entiers placés sur les sommets (puisque ces derniers doivent être comptés deux fois).
On a : \(1+2+\cdots+10=55\), et la somme des entiers placés sur les sommets vaut au minimum \(1+2+3+4+5=15\), et au maximum \(6+7+8+9+10=40\).
D'où \(55+15 \leqslant 5 S \leqslant 55+40\). On en déduit \(14 \leqslant S \leqslant 19\).
b) On peut obtenir la valeur \(S=14\) avec la configuration ci-contre ;
La valeur 14 est donc la valeur minimale.
