Exercice 3

1. a) On écrit les premiers termes de la suite des doublons : 1-1 - 2 - 2 - 3 - 3 - 4 - 4 - 5 - 5 - 6
   et le \(11{ }^{\mathrm{e}}\) terme de la suite des doublons est bien 6 .
   b) On remarque que :
   le \(2^{\mathrm{e}}\) terme de la suite est 1 , le \(1^{\mathrm{er}}\) aussi ;
   le \(4{ }^{\mathrm{e}}\) terme est 2 , le \(3{ }^{\mathrm{e}}\) aussi;
   le \(6^{\mathrm{e}}\) terme est 3 , le \(5^{\mathrm{e}}\) aussi;
   etc. Donc le \(2014^{\mathrm{e}}\) terme vaut \(\frac{2014}{2}=1007\) et par conséquent, le \(2013^{\mathrm{e}}\) vaut également 1007
2. a) Tableau donnant \(s(n)\) pour les premiers entiers impairs :

On remarque que \(s(n)\) est un carré pour les premières valeurs de \(n\) impair.
On peut alors conjecturer que pour tout entier \(p \geqslant 1, s(2 p-1)=p^{2}\).
b) Si on admet la conjecture, \(s(2013)=s(2 \times 1007-1)=1007^{2}=1014049\).
3. Pour tout \(p \geqslant 1, s(2 p-1)=1+1+2+2+\cdots+(p-1)+(p-1)+p\)
\(s(2 p-1)=2 \times(1+2+\cdots+(p-1))+p\)
\(s(2 p-1)=2 \times \frac{(p-1) \times p}{2}+p=p(p-1)+p=p^{2}\).
4. Pour tout \(p \geqslant 1, s(2 p)=s(2 p-1)+p=p^{2}+p=p(p+1)\).

Avec \(2 p=2014, p=1007\) et \(s(2014)=1007 \times 1008=1015056\).