Exercice 1 — Les nombres merveilleux — Olympiades 2013 Créteil

Sujet

Écrire tous les nombres à trois chiffres que l'on peut former en permutant les chiffres du nombre 158.

Montrer que deux de ces nombres ont une somme égale à une puissance de dix.
Dans la suite, on appellera « nombre merveilleux» un nombre dont l'écriture ne contient aucun chiffre \(\ll 0>\) et tel qu'en lui ajoutant un nombre obtenu à partir d'une permutation de ses chiffres, on obtienne une puissance de dix. Ainsi par exemple, 45545 et 54455 sont deux nombres merveilleux car \(54455+45545=100000=10^{5}\).
On dira que 45545 et 54455 sont deux nombres merveilleux « conjugués ».
2. Trouvez tous les nombres merveilleux à trois chiffres dont le chiffre des unités est un 5 .

Existe-t-il d'autres nombres merveilleux à trois chiffres?
3. On part d'un nombre \(N=\overline{a b c d e}=10^{4} \times a+10^{3} \times b+10^{2} \times c+10^{1} \times d+e\).

Soit \(N^{\prime}=\overline{a^{\prime} b^{\prime} c^{\prime} d^{\prime} e^{\prime}}\) un nombre obtenu à partir d'une permutation des chiffres du nombre \(N\).
Montrez que la condition \(N+N^{\prime}=10^{5}\) impose que l'on ait \(e=5\) et que les chiffres \(a, b, c, d\) soient groupés par paires de chiffres de somme 9 .
En déduire qu'il n'existe pas de nombres merveilleux s'écrivant avec un nombre pair de chiffres.
4. Combien existe-t-il de nombre merveilleux à 5 chiffres?

\(158,185,518,581,815,851.185+815=1000=10^{3}\)..
Il existe 8 nombres merveilleux a trois chiffres dont le chiffre des unités est un 5 :
\(185,275,365,455,545,635,725\) et 815 .
En effet, \(185+815=275+725=365+635=455+545=10^{3}\).
Montrons qu'il n'en existe aucun autre.
Considérons un nombre merveilleux égal à \(100 c+10 d+u\) et son conjugue égal à \(100 c^{\prime}+10 d^{\prime}+u^{\prime}\).
On doit avoir \(c+c^{\prime}=9 ; d+d^{\prime}=9\) et \(u+u^{\prime}=10\).
Ces trois égalités imposent que l'on ait \(c^{\prime}=d, d^{\prime}=c\) et \(u^{\prime}=u\), d'où \(u=5\).
Les chiffres de ces deux nombres merveilleux conjugués à 5 chiffres doivent s'additionner comme suit :

\(a\)	\(b\)	\(c\)	\(d\)	\(e\)
\(a^{\prime}\)	\(b^{\prime}\)	\(c^{\prime}\)	\(d^{\prime}\)	\(e^{\prime}\)
\(\downarrow\)	\(\downarrow\)	\(\downarrow\)	\(\downarrow\)	\(\downarrow\)
9	9	9	9	0

On a alors \(2(a+b+c+d+e)=4 \times 9+10\).
Les chiffres de somme 9 vont par paires ( \(1+8\) ou \(2+7\) ou \(3+6\) ou \(4+5\) ), les deux chiffres de chaque paire devant être présents dans les rangs autres que celui des unités.
Le chiffre des unités est donc obligatoirement un « 5 ».