Exercice 2 — Géométrie et chirurgie

Sujet

Un anévrisme d'un vaisseau sanguin est un gonflement ponctuel qui fait que les parois ne sont plus parallèles et il y a alors risque de rupture. Les chirurgiens peuvent installer une «endoprothèse », sorte de cylindre qui se place dans le vaisseau au niveau du gonflement et qui canalise le sang et ainsi isole les parois abîmées du flux sanguin.
Cependant certains anévrismes peuvent se situer au niveau d'une jonction de plusieurs artères et l'endoprothèse doit, à la fois isoler les parois du flux sanguin mais aussi le distribuer dans les différentes artères. Elle prend alors la forme d'un cylindre qui se prolonge par plusieurs cylindres de diamètres inférieurs. Le dessin ci dessous montre un exemple d'endoprothèse où un cylindre de rayon R débouche sur deux cylindres de rayons égaux à \(\frac{R}{2}\).

Il existe des endoprothèses où le cylindre principal se prolonge par trois ou quatre cylindres pouvant être de diamètres différents.
Nous allons étudier les relations entre les rayons de ces cylindres pour une artère souple modélisée par un cylindre de section circulaire déformable, dont le rayon intérieur est 1 cm .

On pourra utiliser les résultats suivant :

• Si deux cercles sont tangents en un point M , alors le point M est aligné avec les centres des deux cercles.
• Si une droite est tangente en un point M à un cercle de centre O , alors elle est perpendiculaire à la droite ( OM ).
• Un angle au centre d'un cercle de rayon \(r\), dont la mesure en degrés est \(x\), intercepte un arc de ce cercle de longueur \(\frac{\pi r x}{180}\).

1. Une endoprothèse comporte quatre cylindres. Comme l'indique la figure les bases sont quatre disques de même rayon tangents entre eux et tangents intérieurement au cercle représentant le bord de la base du cylindre principal. L'artère épouse la forme du disque extérieur
   a) Démontrer que les centres A , B , C et D des quatre cercles de même rayon, sont les sommets d'un losange.
   b) Démontrer que les points \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}\) sont sur un même cercle dont
   
   le centre est celui du cercle extérieur.
   c) Démontrer que ABCD est un carré.
   d) Démontrer que le rayon, en centimètres, des quatre cercles intérieurs est \(\sqrt{2}-1\).