Exercice 1 — Les tandems

Sujet

On dit qu'un couple d'entiers naturels ( \(a, b\) ) est un tandem s'il vérifie \(a \leqslant b\) et \(\frac{a^{2}+b^{2}}{1+a b}\) est un entier naturel.
Si c'est le cas, on note \(n=\frac{a^{2}+b^{2}}{1+a b}\) cet entier et on dit que le couple ( \(a, b\) ) est un tandem de type \(n\).

1. a. Le couple \((2,8)\) est-il un tandem? Même question pour les couples \((3,5)\) et \((27,3)\).
   b. Tout couple ( \(0, b\) ) (avec \(b\) entier naturel) est-il un tandem? Si oui, préciser son type.
   c. Trouver tous les tandems \((a, b)\) pour lesquels \(b=3\).
2. Trouver tous les tandems de type 0 .
3. dans cette question, on cherche les tandems ( \(a, b\) ) pour lesquels \(a=b\).
   a. Montrer pour tout entier \(a\) l'inégalité \(\frac{2 a^{2}}{1+a^{2}}<2\).

En déduire qu'un tandem ( \(a, a\) ) est de type 0 ou 1 .
b. Déterminer tous les tandems de forme ( \(a, a\) ).
4. Dans cette question on cherche les tandems de type 1.
a. Si ( \(a, b\) ) est un tandem de type 1, montrer, en utilisant une identité remarquable, que \(b-a\) vaut 0 ou 1 .
b. Déterminer tous les tandems de type 1 .
5. Existe-t-il des tandems de type 2 ?
6. Désormais on s'intéresse aux tandems ( \(a, b\) ) de type \(n\) pour lesquels \(0 a. On appelle successeur du couple \((a, b)\) le couple \(\left(a_{1}, b_{1}\right)=(b, n b-a)\).

Montrer que le successeur d'un tandem ( \(a, b\) ) de type \(n\) est également un tandem de type \(n\).
b. On appelle prédécesseur du couple ( \(a, b\) ) le couple ( \(\left.a_{-1}, b_{-1}\right)=(n a-b, a)\).

Montrer que le prédécesseur d'un tandem ( \(a, b\) ) de type \(n\) est également un tandem de type \(n\).
c. Quel est le prédécesseur du successeur de \((a, b)\) ? Quel est le successeur du prédécesseur de \((a, b)\) ?
d. On note ( \(a_{-2}, b_{-2}\) ) le prédécesseur de ( \(a_{-1}, b_{-1}\) ), ( \(a_{-3}, b_{-3}\) ) le prédécesseur de ( \(a_{-2}, b_{-2}\) )… Les prédécesseurs successifs de ( \(a, b\) ) seront notés ( \(a_{-p}, b_{-p}\) ) pour tout entier naturel non nul \(p\).
Démontrer que l'un des prédécesseurs successifs de \((a, b)\) vérifie \(a_{-p}=0\). Que peut-on en déduire sur le type \(n\) d'un tandem si \(n \geqslant 2\) ?
7. a. Déterminer tous les tandems de type 3.
b. Déterminer tous les tandems \((a, b)\) de type 4 vérifiant \(b \leqslant 3000\).
c. Déterminer tous les tandems \((a, b)\) de type 9 vérifiant \(b \leqslant 3000\).