Exercice 2 — Les cibles

Sujet

Partie A

ABCD est un carré de côté 2 .
On construit quatre cercles \(\mathrm{C}_{\mathrm{A}}, \mathrm{C}_{\mathrm{B}}, \mathrm{C}_{\mathrm{C}}\) et \(\mathrm{C}_{\mathrm{AD}}\) centrés en \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}\) et D respectivement et tangents deux à deux, ainsi que le carré NMLK, comme sur la figure ci-contre.
a) Quelle est l'aire du carré NMLK ?
b) Déterminer l'aire de la partie colorée en vert.
c) On considère que NMLK est une cible. On lance une fléchette. On suppose que la fléchette atteint toujours la cible. On gagne si elle tombe dans la partie colorée en vert.
Quelle est la probabilité de gagner?

Partie B

1. ABC est un triangle équilatéral de côté 2 .
   a) Quelle est l'aire du triangle ABC ?
   b) On construit trois cercles \(\mathrm{C}_{\mathrm{A}}, \mathrm{C}_{\mathrm{B}}, \mathrm{C}_{\mathrm{C}}\), centrés en \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) et C respectivement et tangents deux à deux, comme sur la figure ci-contre. Déterminer l'aire de la partie colorée.
2. On construit le rectangle MNLK de la façon suivante :
   \((\mathrm{NM})\) est parallèle à \((\mathrm{AB})\) et tangente à \(\mathrm{C}_{\mathrm{A}}\) et à \(\mathrm{C}_{\mathrm{B}}\);
   (NK) est tangente à \(\mathrm{C}_{\mathrm{A}}\);
   (KL) est tangente à \(\mathrm{C}_{\mathrm{C}}\);
   (ML) est tangente à \(\mathrm{C}_{\mathrm{B}}\);
   les trois cercles sont à l'intérieur du rectangle.
   Déterminer les dimensions du rectangle NMLK.