Exercice 3 — Passons à la suite — Olympiades 2013 Caen

Sujet

Observez, peut-être avec une certaine surprise, les trois lignes suivantes :
(1) \(\quad 1+2=3\)
(2) \(4+5+6=7+8\)
(3) \(9+10+11+12=13+14+15\)

Écrire les égalités (4) et (5) suivantes.
Il existe une égalité qui commence par 1024, sauriez-vous dire :
a) Quel est le numéro de cette ligne ?
b) Combien le membre de gauche a-t-il de termes?
c) Quel est le dernier terme du membre de droite?
A votre avis:
a) Dans quelle égalité du même genre verra-t-on le terme 2013 ?
b) Dans quel membre se situe-t-il? (gauche ou droite)
c) Donnez alors le premier et le dernier terme de chaque membre de cette égalité.
Démontrer la \(\mathrm{n}^{\text {ième }}\) égalité.
En déduire la somme des termes d'un des membres où se situe 2013.

On rappelle que la somme des \(n\) premiers entiers naturels (non nul!) est \(\frac{n(n+14)}{2}\).

(4) \(16+17+18+19+20=21+22+23+24\)
(5) \(\quad 25+26+27+28+29+30=31+32+33+34+35\).
Il est utile de remarquer que chaque ligne commence par un carré (le numéro de la ligne) Pour la ligne (4), elle commence par (4) \({ }^{2}=16\); elle possède (4) +1 termes dans le membre de gauche et (4) termes dans le membre de droite.
a) Comme \(1024=32^{2}\), cette égalité est la \(32^{\text {ème }}\).
b) Il y a \(32+1=33\) termes dans le membre gauche.
c) Le dernier terme du membre de droite est alors \(33^{2}-1=1089-1=1088\).
a) Le carré inférieur à 2013 est 44 puisque \(\sqrt{2013}=44,87\left(44^{2}=1936\right)\); ainsi 2013 est dans la \(44^{\text {ème }}\) égalité.
b) le membre de gauche a 45 termes et comme \(1936+44=1980\) (dernier terme du membre de gauche) cela entraine que 2013 est dans le membre de droite.
c) \(1936+\cdots+1980=1981+\cdots+2024\).