Exercice 2 — Des triangles rectangles de périmètre 1

Sujet

L'objet de l'exercice est d'étudier l'ensemble F des couples ( \(x, y\) ) de réels tels que \(x\) et \(y\) sont les mesures des longueurs de deux côtés d'un triangle rectangle dont le périmètre est égal à 1 .

1. Parmi les couples suivants lesquels appartiennent à F ?
   a) \(\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{4}\right)\)
   b) \(\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{6}\right)\)
   c) \(\left(\frac{13}{30}, \frac{1}{6}\right)\)
2. On désigne par ( \(a, b\) ) un couple appartenant à l'ensemble F .
   a) Le couple ( \(b, a\) ) appartient-il à F ?
   b) Démontrer que les réels \(a\) et \(b\) appartiennent tous les deux à l'intervalle \(] 0, \frac{1}{2}[\).
3. On désigne par ABC un triangle rectangle en C dont le périmètre est égal à 1 et on pose \(a= B C, b=C A\) et \(c=A B\).
   a) Démontrer que \(b=\frac{1-2 a}{2(1-a)}\).
   b) Exprimer \(c\) en fonction de \(a\).
4. Soient \(f\) et \(g\) les fonctions définies sur l'intervalle \(] 0, \frac{1}{2}[\operatorname{par}\) :

\[ f(x)=\frac{1-2 x}{2(1-x)} \text { et } g(x)=-x+\frac{1}{2(1-x)} . \]

Vérifier que pour tout réel \(x\) de l'intervalle \(] 0, \frac{1}{2}[\), les couples \((x, f(x))\) et ( \(x, g(x)\) ) appartiennent à F .
5. Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on a représenté ci-dessous l'ensemble des points \(\mathrm{M}(x, y)\) où ( \(x, y\) ) appartient à F .