Sujet
Pour tout entier naturel \(n\), on désigne par \(s(n)\) la somme des chiffres de l'écriture décimale de \(n\). Ainsi \(s(2013)=2+0+1+3=6\).
On se propose de déterminer l'ensemble E des couples ( \(a, b\) ) d'entiers naturels qui vérifient les trois conditions suivantes :
(C1) \(\quad b
(C3) \(\quad a=(s(b))^{2}\)
- Vérifier que le couple \((324,189)\) appartient à l'ensemble E.
- On désigne par ( \(a, b\) ) un couple d'entiers naturels qui appartient à E .
a) Démontrer que l'entier \(a\) est un multiple de 81 .
b) Soit \(k\) le nombre de chiffres de l'écriture décimale de \(b\), le premier chiffre à gauche étant non nul.
Démontrer que \(k \leqslant 4\). En déduire que \(a \leqslant 1296\).
c) En déduire les valeurs possibles de \(a\) et celles de \(s(b)\). - Déterminer tous les couples appartenant à l'ensemble E.
- (324; 189) appartient à E car \(189<324,189=9 \times 21\) est un multiple de 9 et \([s(189)]^{2}=18^{2}=324\).
- a) Comme \(b\) est un multiple de \(9, s(b)\) est un multiple de 9 donc il existe un entier naturel \(u\) tel que \(s(b)=9 u\). On a alors \(a=(s(b))^{2}=81 u^{2}\). Comme \(u^{2}\) est un entier, \(a\) est un multiple de 81.
b) Comme \(b\) s'écrit avec \(k\) chiffres, \(10^{k-1} \leqslant b \leqslant 10^{k}\). De plus, \(s(b) \leqslant 9 k\) donc \(a \leqslant 81 k^{2}\) et comme \(b
Soit la suite ( \(u_{n}\) ) définie sur \(\mathbf{N}^{*}\) par \(u_{n}=\frac{10^{n-1}}{n^{2}}\).
Pour tout entier \(n \geqslant 1, u_{n+1}-u_{n}=\frac{10^{n+1}}{(n+1)^{2}}-\frac{10^{n}}{n^{2}}=\frac{10^{n}}{n^{2}(n+1)^{2}}\left(9 n^{2}-2 n-1\right)\).
Comme \(n \geqslant 1, n^{2} \geqslant n\) donc \(9 n^{2}-2 n-1 \geqslant 7 n-1 \geqslant 7-1 \geqslant 6>0\) d'où \(u_{n+1}-u_{n}>0\). La suite ( \(u_{n}\) ) est donc croissante.
De plus \(u_{k} \leqslant 81\) et \(u_{5}=\frac{10^{4}}{25}=400>81\), donc \(k<5\). Ainsi \(k \leqslant 4\) puisque \(k\) est un entier.
Comme \(a \leqslant 81 k^{2}\) et \(k \leqslant 4\), on a \(a \leqslant 81 \times 4^{2}\) donc \(a \leqslant 1296\).
