Exercice 2 — La collection de figurines

Sujet

Lors du lancement d'un nouveau biscuit, une figurine est insérée dans l'emballage de chacune des boîtes. La collection est composée de plusieurs figurines distinctes et on admet que celles-ci sont réparties au hasard dans les boîtes, dans les mêmes proportions.
L'objectif de cet exercice est de donner des pistes de réponse à la question suivante :
«Combien Timéo doit-il acheter de boîtes de biscuits pour obtenir la collection complète de figurines, sans faire aucun échange? »

Partie I : Cas où il n'y a que deux figurines distinctes

Dans toute la partie I, on considère que la collection est composée de seulement deux figurines. Timéo achète les boîtes de biscuits les unes après les autres et extrait les figurines après chaque achat.

1. Quel nombre minimum de boîtes de biscuits Timéo devra-t-il acheter pour espérer avoir toutes les figurines dans sa collection?
2. Quelle est la probabilité d'avoir deux figurines distinctes en achetant deux boîtes de biscuits seulement?
3. On note \(C_{3}\) l'événement : « La collection de Timéo est complète après l'achat de trois boîtes de biscuits, mais pas après l'achat de deux boîtes. » Déterminer la probabilité de l'événement \(C_{3}\). On pourra éventuellement s'aider d'un arbre.
4. On note \(C_{4}\) l'événement : «La collection de Timéo est complète après l'achat de quatre boîtes de biscuits, mais pas après l'achat de trois boîtes. » Déterminer la probabilité de l'événement \(C_{4}\). On pourra éventuellement s'aider d'un arbre.
5. Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 2 . On considère l'événement \(E:\) « Après l'achat de \(n\) boîtes de biscuits, Timéo ne possède qu'une seule figurine sur les deux, en \(n\) exemplaires. »
   a) Justifier que \(P(E)=\frac{1}{2^{n-1}}\).
   b) En déduire la probabilité de l'événement \(F\) : « Timéo possède les deux figurines en ayant acheté \(n\) boîtes de biscuits ou moins de \(n\) boîtes de biscuits. »
   c) À l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier \(n\) supérieur ou égal à 2 tel que \(P(F)>0,999\).

Partie II : Cas général

On suppose maintenant qu'il y a \(s\) figurines à collectionner où \(s\) est un entier supérieur ou égal à 2 . Pour différentes valeurs du nombre \(s\), on a simulé 100000 fois l'expérience aléatoire qui consiste à acheter successivement des boîtes de biscuits et à s'arrêter dès que la collection complète des \(s\) figurines est obtenue. Pour les 100000 expériences simulées, on comptabilise le nombre de boîtes nécessaires pour réunir la collection complète et on détermine la moyenne, le premier décile, le premier quartile, la médiane, le troisième quartile et le neuvième décile de la série statistique des 100000 valeurs ainsi obtenue.