Exercice 1 — Nombres parfaits

Sujet

On définit la fonction \(\sigma\) sur l'ensemble \(\mathbf{N}^{*}\) des entiers naturels non nuls, qui à \(n\) associe la somme de ses diviseurs.

Exemple : \(\sigma(21)=32\) car les diviseurs de 21 sont \(1 ; 3 ; 7 ; 21\) et \(1+3+7+21=32\).
Définition : Un entier naturel \(p\) est dit premier s'il admet deux diviseurs distincts : 1 et \(p\).
Théorème 1 (Décomposition en facteurs premiers)
Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 peut s'écrire comme un produit de nombres premiers (non nécessairement distincts).
Exemple : \(72=2^{3} \times 3^{2}\).
On rappelle également les deux propriétés suivantes :

Propriété 1

Pour tout entier naturel non nul \(n\) :

\[ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} \]

Propriété 2

Pour tout réel \(x \neq 1\) et pour tout entier naturel \(n\)

\[ 1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}=\frac{x^{n+1}-1}{x-1} . \]

Partie I: Obtention des diviseurs d'un nombre entier naturel

La décomposition en facteurs premiers d'un entier naturel permet d'obtenir tous ses diviseurs de manière systématique.
On a vu par exemple que \(72=2^{3} \times 3^{2}\). Les diviseurs de 72 sont alors :

\[ 1 ; 2 ; 2^{2} ; 2^{3} ; 3 ; 3^{2} ; 2 \times 3 ; 2^{2} \times 3 ; 2^{3} \times 3 ; 2^{3} \times 3 ; 2 \times 3^{2} ; 2^{2} \times 3^{2} ; 2^{3} \times 3^{2} . \]

On peut s'aider d'un arbre pour lister ces diviseurs :