Lors d'un dîner avec des amis, monsieur et madame Martin et leurs deux enfants sont interrogés sur leurs âges respectifs.
Monsieur Martin répond : « À nous quatre, nous avons 128 ans. »
Cette réponse paraissant insuffisante à leurs amis, madame Martin ajoute : «À nous deux, mon mari et moi sommes trois fois plus âgés que nos deux fils. »
Ces derniers prennent alors la parole :
L'aîné précise qu'il a moins de la moitié de l'âge de sa mère.
Le cadet remarque que la différence d'âge entre son père et sa mère est sept fois plus grande que la différence d'âge entre son frère et lui.
Quels sont les âges des quatre membres de la famille Martin?
Les réponses recherchées sont des nombres entiers.
On pose \(x\) l'âge de la mère, \(y\) celui du père, \(z\) l'âge du frère aîné et \(t\) celui du cadet.
\[ x+y+z+t=128 \tag{1} \]
\[ x+y=3(z+t) \tag{2} \]
\[ z \leqslant \frac{x}{2} \tag{3} \]
\[ y-x=7(z-t) \tag{4} \]
De (1) et (2) on obtient \(z+t=32\) et \(x+y=96\).
Comme \(y \geqslant x\), on obtient \(x \leqslant 48\). La mère a moins de 48 ans.
D'après l'équation (4), on sait que la différence d'âge entre le père et la mère est un multiple de \(7 . y=7 k\) où \(k \in \mathbb{N}\)
Par ailleurs, en remplaçant dans \(x+y=96\), on obtient :
\(x+y=96 \Leftrightarrow x+x+7 k=96 \Leftrightarrow 2 x+7 k=96\), ce qui implique que \(k\) est pair.
Ainsi les choix pour \(k\) sont 2,4 ou 6 . La différence d'âge entre le père et a mère est donc égale à 14,28 ou 42 ans.
Étudions ces trois cas afin de voir les solutions possibles à ce problème.
Dans ce cas, \(2 x=96-14 \Leftrightarrow x=41\)
On a également \(\left\{\begin{array}{c}x+t=32 \\ z-t=2\end{array} \Rightarrow z=17\right.\)
Ces deux résultats ne contredisent pas l'inéquation (1) \(z \leqslant \frac{x}{2}\). On calcule donc \(y=55\) et \(t=15\).
Le quadruplet \(\{414,55,17,15\}\) satisfait donc aux conditions du problème. C'est une solution possible.
Dans ce cas, \(2 x=96-28 \Leftrightarrow x=34\).
On a également \(\left\{\begin{array}{c}z+t=32 \\ z-t=4\end{array} \Rightarrow z=18\right.\)
Ces deux résultats contredisent l'inéquation (3) \(z \leqslant \frac{x}{2}\). C'est impossible.
Dans ce cas, \(2 x=96-42 \Leftrightarrow x=27\)
On a également \(\left\{\begin{array}{c}z+t=32 \\ z-t=6\end{array} \Rightarrow z=19\right.\)
Ces deux résultats contredisent l'inéquation (3) \(z \leqslant \frac{x}{2}\). C'est impossible.
Conclusion :
Les âges de la famille Martin sont les suivants :
La mère a 41 ans, le père a 55 ans, le fils aîné a 17 ans, le cadet a 15 ans.
Cela doit être agréable de les recevoir à dîner. . .