Robinson construit un radeau rectangulaire. Il place sur celui-ci un mat fixé en haut par des cordes aux quatre coins du radeau. Les longueurs des cordes opposées sont de 14 mètres et de 8 mètres et celle d'une des deux autres est de 2 mètres. Quelle est la longueur de la dernière corde?
Soit ABCD le radeau, S le sommet du mat, H le pied du mat et \(S H=h\).
Les triangles SHA , SHC , SHD et SHB sont rectangles en H donc d'après le théorème de Pythagore \(S A^{2}=A H^{2}+H S^{2}\) soit \(64=A H^{2}+h^{2}\).
De même \(S C^{2}=196=C H^{2}+h^{2}\)
\[ \begin{aligned} & S B^{2}=4=B H^{2}+h^{2} \\ & S D^{2}=x^{2}=D H^{2}+h^{2} . \end{aligned} \]
Si \(\mathrm{A}^{\prime}, \mathrm{B}^{\prime}, \mathrm{C}^{\prime}\) et \(\mathrm{D}^{\prime}\) sont les projetés orthogonaux de H sur \([\mathrm{AB}],[\mathrm{BC}],[\mathrm{CD}]\) et \([\mathrm{DA}]\), on obtient des triangles rectangles
Et \(D H^{2}+B H^{2}=\left(D D^{\prime 2}+D^{\prime} H^{2}\right)+\left(B B^{\prime 2}+B^{\prime} H^{2}\right)\)
Or \(D D^{\prime 2}=C B^{\prime 2}, D^{\prime} H^{2}=A A^{\prime 2}\) et \(B B^{\prime 2}=A H^{2}\)
Donc \(D H^{2}+B H^{2}=A A^{\prime 2}+C B^{\prime 2}+A^{\prime} H^{2}+B^{\prime} H^{2}=A A^{\prime 2}+A^{\prime} H^{2}+C B^{\prime 2}+B^{\prime} H^{2}=A H^{2}+C H^{2}\).
Donc \(x^{2}-h^{2}+4-h^{2}=64 h^{2}+196-h^{2}\)
D'où \(x=16 \mathrm{~m}\).