Sujet
Un campeur, arrivé dans un camping sans autre équipement pour dormir qu'une bâche carrée de 3 m de côté, souhaite l'utiliser comme toile de tente pour essayer de dormir dans les mêmes conditions que son voisin
On pose \(x=A H\) la hauteur de la tente improvisée et on considère que le triangle ABC est isocèle. On assimile la forme de la tente à un prisme de base ce triangle.
- Déterminer l'aire de ABC en fonction de \(x\).
- Quelle hauteur \(x\) de piquet choisir pour que le volume de la tente soit maximal? Quel sera alors le volume de la tente? On pourra étudier la fonction correspondant au carré du volume...
- Tout d'abord, \(x \in] 0 ; 1,5[\).
DŠaprès le théorème de Pythagore dans le triangle ABH rectangle en H , on a : \(B H^{2}+x^{=} 1,5^{2}\).
Donc \(B H=\sqrt{1,5^{2}-x^{2}}\).
Si on note \(A(x)\) l'aire du triangle ABC lorsque \(A H=x\), on a :
\[ \left.A(x)=x \times B H=x \sqrt{15^{2}-x^{2}} \text { où } x \in\right] 0 ; 1,5[. \]
- On note \(v(x)\) le volume de la tente lorsque la hauteur du piquet est \(x\).
Exprimons \(v(x)\) en fonction de \(x\).
\[ v(x)=3 A(x) . \]
\(v(x)\) maximal \(\Leftrightarrow 3 A(x)\) maximal \(\Leftrightarrow A(x)^{2}\) maximal.
Or \(A(x)^{2}=x^{2}\left(2,25-x^{2}\right)=-x^{4}+2,25 x^{2}\). C'est un polynôme que l'on sait dériver. Pour trouver ses extrema, on peut chercher les valeurs annulant sa dérivée.
On note \(f(x)=A(x)^{2}\) afin d'alléger l'écriture;
\(f^{\prime}(x)=x\left(4 x^{2}+4,5\right)\)