Exercice 1 — Le compteur

Sujet

Un compteur est composé de trois roues crantées, nommées \(R_{0}, R_{1}\) et \(R_{2}\) comportant toutes les trois 7 crans, numérotés de 0 à 6 . Ce compteur est conçu de sorte que :

• Les roues tournent toujours d'un cran vers le cran suivant, dans cet ordre : \(0 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 6 \rightarrow 0\).
• Lorsque la roue \(R_{0}\) effectue un tour complet, c'est-à-dire lorsqu'elle tourne de 7 crans, alors la roue \(R_{1}\) tourne d'un cran.
• Lorsque la roue \(R_{1}\) effectue un tour complet, c'est-à-dire lorsqu'elle tourne de 7 crans, alors la roue \(R_{2}\) tourne d'un cran.
• Initialement, les roues \(R_{0}, R_{1}\) et \(R_{2}\) affichent toutes 0 .

Les roues ne peuvent tourner que dans ce sens

Les flèches noires indiquent les numéros affichés par ces roues.

Entre chaque question, le compteur est remis à zéro, c'est-à-dire que chaque roue affiche de nouveau 0.

1. On tourne la roue \(R_{0}\) de 15 crans. Quels sont alors les numéros affichés par les roues?
2. On tourne la roue \(R_{0}\) de 100 crans. Quels sont alors les numéros affichés par les roues?
3. On tourne la roue \(R_{0}\) jusqu'à ce que la roue \(R_{2}\) affiche 5 pour la première fois. De combien de crans a-t-on tourné \(R_{0}\) ?
4. De combien de crans faut-il tourner \(R_{0}\) pour les roues reviennent pour la première fois en même temps à 0 ?
5. On tourne la roue \(R_{0}\) de 3580 crans. Quels sont alors les numéros affichés par les roues?
6. Soit \(N=k_{0}+k_{1} \times 7+k_{2} \times 7^{2}\), où \(k_{0}, k_{1}\) et \(k_{2}\) sont trois entiers de \(\{0,1,2,3,4,5,6\}\). De combien de crans faut-il tourner la roue \(R_{0}\) pour que, simultanément et pour la première fois, \(R_{0}\) affiche \(k_{0}\) , \(R_{1}\) affiche \(k_{1}\) et \(R_{2}\) affiche \(k_{2}\) ?
7. Après avoir tourné de \(n\) crans la roue \(R_{0}\), les roues \(R_{0}, R_{1}\) et \(R_{2}\) affichent respectivement 1,2 et 3 . Quelles sont les valeurs possibles de \(n\) ?