Olympiades · Académie Aix-Marseille · 2013 · Toutes séries
Sujet
a) En partant de 12589 et en comptant de 29 en 29 , peut-on atteindre le nombre 12705?
b) En partant de 1485 et en comptant de 29 en 29, peut-on atteindre le nombre 310190 ?
Expliquer comment vous avez trouvé.
Quel est le plus petit entier positif à partir duquel, en comptant de 29 en 29 , on peut atteindre 2013 ?
Existe-t-il des entiers positifs inférieurs à 2013 à partir desquels il est possible d'atteindre ce nombre aussi bien en comptant de 29 en 29 qu'en comptant de 31 en 31 ? Si oui, les trouver tous.
On peut remarquer que si la différence de deux nombres est divisible par 29, il est possible de les «joindre» en comptant de 29 en 29.
a) \(12705-12589=116=4 \times 29\). En partant de 12589 et en comptant de 29 en 29, on peut atteindre le nombre 12705.
b) \(310190-1485=308705=10645 \times 29\). En partant de 1485 et en comptant de 29 en 29 , on peut atteindre le nombre 310190 .
Il s'agit du reste de la division euclidienne de 2013 par 29 .
\(2013=29 \times 69+12\).
En partant de 12 et en comptant de 29 en 29 , on peut atteindre le nombre 2013.
\(899=29 \times 31\) est le plus petit multiple commun à 29 et à 31 . Ainsi, trouver des nombres qui permettent d'atteindre 2013 aussi bien en comptant de 29 en 29 que de 31 en 31, revient à déterminer les nombres qui permettent d'atteindre 2013 en comptant de 899 en 899.
Il y en a deux : 215 et 1114 .