Exercice 3 — Énoncé — Olympiades 2013 Aix-Marseille

Sujet

Les deux énigmes suivantes sont indépendantes. Les résoudre.

Énigme 1

À partir de deux entiers positifs, on construit une liste de nombres où chaque nombre est la somme des deux précédents.

Question préliminaire :

Choisir deux nombres entiers positifs inférieurs à 10 et déterminer les dix premiers nombres de la liste définie précédemment.
2. Un mathé-magicien prétend être capable de déterminer rapidement et exactement la somme des dix premiers nombres d'une liste quelconque ainsi construite.
Montrer que, quels que soient les nombres de départ, cette somme est multiple d'un des nombres de la liste dont on déterminera la position.

Énigme 2 :

Une famille décide d'aller au restaurant pour fêter un anniversaire.
Le restaurateur propose pour chaque adulte un menu à 15 euro, et pour chaque enfant un menu à 11 euro.
La facture s'élève à 250 euro.
Combien y avait-il d'adultes et d'enfants?

Énigme 1

Par exemple, à partir de 1 et 1 , on construit la suite de nombres suivante :
\(1: 1: 2: 3: 5: 8: 13: 21: 34: 55\).
À partir de deux nombres quelconques \(a\) et \(b\), on construit la suite de nombre suivante :
\(a ; b ; a+b ; a+2 b ; 2 a+3 b ; 3 a+5 b ; 5 a+8 b ; 8 a+13 b ; 13 a+21 b ; 21 a+34 b\).
La somme de ces 10 nombres est : \(55 a+88 b=11(5 a+8 b)\).
Cette somme égale à 11 fois le \(7^{\text {ème }}\) nombre de la liste.