Sujet
On dispose d'une aiguille de longueur 1. L'objectif de cet exercice est d'étudier certaines surfaces permettant à cette aiguille d'effectuer un demi-tour sans sortir de la surface.
La succession de schémas qui suit montre que c'est possible dans un disque de diamètre 1.
Figure 1 : exemple du disque
I On considère un triangle équilatéral de hauteur 1. On dispose l'aiguille le long d'une hauteur de ce triangle.
- Montrer, par une succession de schémas à compléter en annexe à rendre avec la copie, qu'il est possible de faire effectuer un demi-tour à cette aiguille dans ce triangle équilatéral.
- Calculer l'aire de ce triangle équilatéral.
Montrer qu'elle est inférieure à celle du disque de diamètre 1.
II. On considère une famille de surfaces particulières : les « trisectangles ».
La figure 2 montre quelques éléments de cette famille.
Figure 2 : Famille de trisectangles
La figure 3 explique comment les trisectangles sont construits : cette surface est formée d'un triangle équilatéral et d'un secteur angulaire à chacun de ses trois sommets, chaque côté d'un secteur étant le prolongement d'un côté du triangle. Les trois secteurs sont superposables.
Figure 3 : construction d'un trisectangle
- Montrer, par une succession de schémas à compléter en annexe à rendre avec la copie, qu'il est possible de faire effectuer un demi-tour à cette aiguille dans un trisectangle.
- On recherche désormais un trisectangle d'aire minimale.
On note \(x\) la hauteur du triangle équilatéral inclus dans le trisectangle.
a) Exprimer l'aire du trisectangle en fonction de \(x\).
b) En déduire l'aire minimale d'un tel trisectangle.
c) Quel pourcentage de l'aire du disque de diamètre 1 représente l'aire du trisectangle d'aire minimale.
On doit le problème mathématique étudié ici au mathématicien japonais Sôichi Kakeya (1886-1947) qui s'est posé la question suivante au début du XXe siècle : quelle est la plus petite surface à l'intérieur de laquelle il est possible de déplacer une aiguille de manière à la retourner complètement? L'exercice ci-dessus propose une catégorie particulière de surfaces candidates à la solution de ce problème.
I. 2. Le côté du triangle apour longueur \(\frac{2}{\sqrt{3}}\). L'aire de ce triangle équilatéral est donc \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), et \(\frac{1}{\sqrt{3}}<\frac{3}{4}\).
II. 2. a) Par construction, \(x \in[0 ; 1]\).
L'aire d'un trisectangle est la somme de l'aire d'un triangle équilatéral de hauteur \(x\) (donc de côté \(\frac{2 x}{\sqrt{3}}\) ) et des aires des trois secteurs angulaires identiques de rayon \(1-x\) et d'angle \(\frac{\pi}{3}\). L'aire d'un trisectangle est donc :
\[ \begin{aligned} & A(x)=\frac{1}{2} \times \frac{2 x}{\sqrt{3}} \times x+3 \times \frac{1}{6} \times \pi \times(1-x)^{2}=\frac{x^{2}}{\sqrt{3}}+\frac{\pi}{2}(1-x)^{2}: \\ & A(x)=\left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right) x^{2}-\pi x+\frac{\pi}{2} \end{aligned} \]