Exercice 1 — Énoncé — Olympiades 2013 Aix-Marseille

Sujet

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Première partie :

À partir de deux entiers positifs, on construit une liste de nombres où chaque nombre est la somme des deux précédents.

Choisir deux nombres entiers positifs inférieurs à 10 et déterminer les dix premiers nombres de la liste définie précédemment.
Un mathé-magicien prétend être capable de déterminer rapidement et exactement la somme des dix premiers nombres d'une liste quelconque ainsi construite. Montrer que, quels que soient les nombres de départ, cette somme est multiple d'un des nombres de la liste dont on déterminera la position.

Deuxième partie

On considère l'équation :

\[ 81 a+125 b+149 c=2013 \tag{E} \]

où \(a, b\) et \(c\) sont des entiers positifs.
a) Justifier que \(a\) est nécessairement compris entre 0 et 24 .

Donner un encadrement possible des valeurs prises respectivement par \(b\) puis par c.
b) Écrire un algorithme permettant :

de tester chacune des valeurs \(a, b\) et \(c\) prises dans les encadrements précédemment définis afin de vérifier si \(81 a+125 b+149 c=2013\);
d'afficher les valeurs \(a, b\) et \(c\), si elles existent, solutions de \((E)\).
c) On fixe \(a=15\). En utilisant la méthode de votre choix, déterminer tous les triplets ( \(15, b, c\) ) de nombres entiers positifs, s'il en existe, solutions de ( \(E\) ).

À partir de trois entiers positifs, on construit une liste de nombres où chaque nombre est la somme des trois précédents. a) Déterminer le \(12{ }^{\text {ème }}\) nombre de la liste si les trois premiers nombres sont, dans l'ordre, 0,1 et 1 . b) Comment choisir les trois premiers entiers pour que le \(12{ }^{\text {ème }}\) nombre de la liste soit 2013 ?

Première partie :

Par exemple, à partir de 1 et 1 , on construit la suite de nombres suivante :

\[ 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 . \]

À partir de deux nombres quelconques \(a\) et \(b\), on construit la suite de nombre suivante :

\[ a ; b ; a+b ; a+2 b ; 2 a+3 b ; 3 a+5 b ; 5 a+8 b ; 8 a+13 b ; 13 a+21 b ; 21 a+34 b . \]

La somme de ces 10 nombres est : \(55 a+88 b=11(5 a+8 b)\).
Cette somme est égale à 11 fois le \(7^{\text {ème }}\) nombre de la liste.

Deuxième partie

a) \(a\) est un entier positif et \(81 a \leqslant 2013 \Leftrightarrow a \leqslant 24\).
\(b\) est un entier positif et \(125 b \leqslant 2013 \Leftrightarrow b \leqslant 16\).
\(c\) est un entier positif et \(149 c \leqslant 2013 \Leftrightarrow c \leqslant 13\).
b) Pour \(a\) allant de 0 à 24

Pour \(b\) allant de 0 à 16
pour \(c\) allant de 0 à 13
Si \(81 a+125 b+149 c=2013\)
Afficher \(a, b, c\).
c) ( \(15 ; 4 ; 2\) ) est la seule solution de ( \(E\) ).
2. a) La liste des nombres ainsi obtenue est

\[ 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 13: 24 ; 44 ; 81 ; 149 ; 274 . \]

b) Si les trois premiers nombres sont \(a, b, c\), la liste des nombres obtenue est :
\(a-b-c ; a+b+c ; a+2 b+2 c ; 2 a+3 b+4 c ; 4 a+6 b+7 c ; 7 a+11 b+13 c ;\)
\(13 a+20 b+24 c ; 24 a+37 b+44 c ; 44 a+68 b+85 c ; 81 a+125 b+149 c\).
D'après l la question 1.c), on doit choisir \(a=15, b=4\) et \(c=2\).