Sujet
Un tableau alternant de taille 3 (appelé dans la suite « tableau A3 ») est un tableau de la forme illustrée ci-contre, dont les cases sont soit vides soit occupées par un jeton carré ou par un jeton rond, en respectant la consigne suivante :
- A gauche d'un jeton carré, toutes les cases sont vides ;
- Au dessous d'un jeton rond, toutes les cases sont vides.
- Donner un exemple de tableau A3 contenant 3 jetons carrés. Donner un exemple de tableau A3 contenant 3 jetons ronds.
- Combien peut-il y avoir de jetons carrés dans un tableau A3?
- Est-il possible que toutes les cases d'un tableau A3 soient occupées ? Combien de cases peuvent-elles être occupées, au maximum? Donner un exemple.
- Un tableau alternant de taille \(\boldsymbol{n}\) (appelé «tableau \(\mathrm{A}_{n} \gg\) ) est constitué de la même manière et avec les mêmes règles sur une base de \(n\) cases.
a) Représenter un tableau A5.
b) Combien peut-il y avoir de jetons carrés dans un tableau A5?
c) Combien de cases d'un tableau \(\mathrm{A}_{n}\) peuvent-elles être occupées, au maximum?
- Exemples
- Un jeton carré est seul sur sa ligne. Le maximum est donc 3.
- Le maximum de jetons ronds est également 3, il ne peut y en avoir plus d'un par colonne. Mais deux cases n'appartiennent, l'une qu'à une seule ligne, l'autre qu'à une seule colonne. Tout remplissage optimal débute donc par :
