Exercice 2 — Mille et une lampes — Olympiades 2012 Versailles

Sujet

Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 1 .
Sur un cercle, on dispose \(n\) lampes, régulièrement espacées, entre lesquelles sont disposés \(n\) commutateurs. Chaque commutateur a deux positions, « \(\mathrm{I} »\) et « \(\mathrm{O}>\). Toute lampe est éteinte si elle se trouve entre deux commutateurs de même position, allumée si elle se trouve entre deux commutateurs placés dans des positions contraires.

Si \(n=8\), est-il possible que toutes les lampes soient allumées?

Si \(n=5\), est-il possible que toutes les lampes soient allumées?
2. Si \(n=2012\), déterminer le nombre maximum de lampes qui peuvent être allumées, et donner les positions des commutateurs correspondants.
Même question avec \(n=2011\).
3. Si \(n=2012\), est-il possible que la moitié exactement des lampes soit allumées?

Même question avec \(n=10\).
4. Dans cette question, on suppose que \(n=2012\).
a) Est-il possible d'allumer exactement 4 lampes et que celles-ci se trouvent aux sommets d'un carré?
b) Est-il possible d'allumer exactement 8 lampes et que celles-ci se trouvent aux sommets d'un hexagone?
c) Est-il possible d'allumer exactement 503 lampes et que celles-ci se trouvent aux sommets d'un polygone régulier à 503 côtés?

Un problème de parité

Dans les conditions indiquées par l'énoncé, le nombre de lampes allumées est égal au nombre de changements de position observés lorsqu'on suit la liste des \(n+1\) interrupteurs, du numéro 1 au numéro \(n\) puis au numéro 1. Comme les deux bouts de la chaîne sont dans la même position, le nombre de changements de position est pair. Le nombre de lampes allumées ne saurait donc qu'être pair.

Des problèmes de répartition

Question 2, cas \(n=2011\)
On peut allumer 2010 lampes. Les 2011 interrupteurs qu'elles séparent sont dans des positions alternativement ouverte et fermée. Aux deux bouts de la chaîne, les interrupteurs sont, par exemple , en position O . Ils sont situés de part et d'autre de la \(2011^{\text {ème }}\) lampe, éteinte.

Question 3, cas \(n=2012\)
On allume 1006 lampes consécutives. Les 1007 interrupteurs qu'elles séparent sont dans des positions alternativement ouverte et fermée. Aux deux bouts de la chaîne, les interrupteurs sont, par exemple, en position O.
Si tous les autres interrupteurs sont eux aussi en position O, il n'y a que 1006 lampes allumées.
Question 4. a.
Entre deux lampes allumées consécutives, il y a 503 interrupteurs dans la même position et 502 lampes