Exercice 3 — Peintures et gravures

Sujet

Dans le salon en rotonde sont accrochés dix beaux tableaux à des clous équidistants les uns des autres : une gravure du port de Rouen (R), une nature morte de Paul Cézanne (Cz), une peinture de grand-père (GP), une gravure de Toulouse-Lautrec (TL), une peinture de la Tour Eiffel (TE), une peinture de Bernard Buffet \((\mathrm{BB})\), une peinture de Paul Klee (K), une vieille carte du Monde gravée (CM), une gravure chinoise (Ch), une gravure japonaise (J).

Aujourd'hui, Maman propose de repenser la disposition des tableaux. Nous discutons donc de la meilleure façon de les accrocher ; il y a finalement six souhaits :
S1- d'abord, dit Maman, gravures et peintures doivent être alternées.
S2- et puis, dit Papa, la gravure du port de Rouen ne doit surtout pas avoisiner la nature morte de Paul Cézanne ; ni la peinture de grand-père.
S3- je voudrais que la gravure de Toulouse-Lautrec et la peinture

de la Tour Eiffel soient diamétralement opposées, dit mon grandoncle Arthur.
S4- . . .que la peinture de Bernard Buffet soit à côté de la vieille carte du monde, dit ma petite sœur, mais que cette dernière soit elle-même voisine de la peinture de la tour Eiffel.
S5- la peinture du grand-père et la nature morte de Cézanne doivent encadrer la gravure chinoise, demande mon petit frère.
S6- et moi, dis-je enfin, je souhaite simplement que le tableau de Bernard Buffet n'avoisine pas la gravure japonaise.

1. Par ailleurs Maman commence par placer la carte du Monde au dessus de la porte; elle réussit finalement à accrocher tous les tableaux en faisant plaisir à tout le monde.
   a) Proposer une disposition satisfaisant les six souhaits.
   b) Y en a-t-il d'autres? Si oui combien?
2. Si c'est plutôt la peinture de Paul Klee que Maman avait choisi de placer au dessus de la porte, aurait-il été possible de disposer les tableaux? Si oui, de combien de manières?
3. Sans décider d'avance quel tableau est accroché au dessus de la porte, combien y a-t-il de dispositions possibles des tableaux respectant les six souhaits?
4. a) Il semble que le nombre de tableaux s'intercalant entre la carte du Monde et la peinture de Paul Klee soit indépendant de la disposition des tableaux. Est-ce vrai?
   b) Est-ce vrai pour la peinture de Paul Klee et la peinture de grand-père ?

• le nombre de tableaux s'intercalant entre eux ne dépend pas de la disposition;
• le nombre de tableaux s'intercalant entre eux dépend de la disposition.