Exercice 2 — Largeur constante

Sujet

On considère une courbe fermée du plan et un point M de cette courbe.
On peut alors toujours trouver un point N sur la courbe, pas forcément unique, pour lequel la distance \(M N\) - c'est-à-dire la longueur du segment [MN] - est maximale.
Cette valeur maximale est appelée « largeur en \(\mathrm{M} \gg\) de la courbe ; on la note \(L(M)\).
On dit qu'une courbe est à largeur constante si la largeur est la même en chacun de ses points.
Dans cet exercice on étudie quelques courbes fermées et on examine si leur largeur est constante.

1. Soit la courbe fermée constituée par un segment [AB] de longueur \(2 R\) et un demi-cercle de diamètre \([\mathrm{AB}]\); on note O le milieu de [AB]
   a) Déterminer en fonction de \(R\), la largeur en O de la courbe : \(L(O)\).
   b) Déterminer en fonction de \(R\), la largeur en A de la courbe : \(L(A)\).
   
   c) Cette courbe est-elle à largeur constante ?
2. Un cercle de centre O et de rayon \(R\) est une courbe fermée. Est-elle à largeur constante?
3. La courbe fermée ci-contre est constituée des deux arcs de cercle tracés en trait plein. L'un des deux a pour centre A, l'autre a pour centre B. Ils ont tous les deux pour rayon \(A B\) et pour extrémités les points C et D communs aux deux cercles.
   Cette courbe est-elle à largeur constante?
   
4. La courbe fermée ci-contre est appelée « triangle» de Reuleaux. Elle est construite à partir des sommets d'un triangle équilatéral ABC de côté \(d\). Elle est composée de trois arcs de cercle centrés respectivement en \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\) et C et ayant pour extrémités les deux autres sommets du triangle équilatéral ABC .
   a) M étant un point de l'arc BC autre que B et C, quel est le point du «triangle» de Reuleaux le plus éloigné de M?
   b) Le «triangle» de Reuleaux est-il une courbe à largeur
   
   constante?
5. a) Construire sur la copie un «triangle» de Reuleaux de sommets A, B et C (on prendra 8 cm pour \(d\) ) et les points d'intersection \(\mathrm{A}^{\prime}, \mathrm{B}^{\prime}\) et \(\mathrm{C}^{\prime}\) des médiatrices des segments [BC], [AC] et [AB] avec les arcs de cercle composant le «triangle » de Reuleaux.