Exercice 3 — Le Kougelhopf

Soit \(p\) et \(g\) le nombre de neveux, petits et grands.
S'ils choisissent la formule A, ils doivent payer \(7 g+3 p\) euros
S'ils choisissent la formule B, ils doivent payer \(6 g+2 p\) euros
On doit donc avoir les quatre inégalités :
\(31 \leqslant 7 g+3 p \leqslant 39\) et \(31 \leqslant 6 g+2 p \leqslant 39\).
Comme \(g\) et \(p\) sont positifs, on a \(6 g+2 p \leqslant 7 g+3 p\).
Il suffit donc de satisfaire les deux conditions :
\(31 \leqslant 6 g+2 p\) et \(7 g+3 p \leqslant 39\).

Solution arithmétique

\(g\) et \(p\) étant entiers, \(6 g+2 p\) est pair et donc supérieur à 32 ,
d'où \(3 g+p \geqslant 16\) puis \(3 p \geqslant 48-9 g\)
et comme \(3 p \leqslant 39-7 g, 48-9 g \leqslant 39-7 g\) d'où \(9 \leqslant 2 g\) donc \(g \geqslant 53\).
Mais \(7 g \leqslant 39\) et \(g \leqslant 5\) donc \(g=5\).
Alors \(2 p \geqslant 31-6 \times 5=1\) d'où \(p \geqslant 1\).
et \(3 p \leqslant 39-7 g=4\). D'où \(p \leqslant 1\).
Finalement \(p=1\).

Solution analytique et géométrique

Traçons sur une feuille quadrillée les deux droites d'équation

\[ 6 y+2 x=31 \text { et } 7 y+3 x=39 \]

. Puis hachurons la zone définie par

\[ 6 y+2 x \geqslant 31 \text { et } 7 y+3 x \leqslant 39 \]

intersection de deux demi-plans.
Un agrandissement sur cette zone montre que le seul point à coorodnnées entières est le point ( \(1 ; 5\) ).