Exercice 2 — Un dé tétraédrique — Olympiades 2012 Strasbourg

Sujet

Les quatre faces d'un dé tétraédrique posé sur une table sont numérotées de 1 à 4 . Ce dé est posé sur la face numérotée 1. A chaque étape, Nicolas fait basculer le dé autour de l'une des arêtes de la face sur laquelle il est posé et note le numéro de la face sur laquelle il se retrouve posé.

Au bout de 2012 basculements, Nicolas fait la somme S des 2012 chiffres qu'il a notés.

Donner la valeur maximale \(M\) et la valeur minimale \(m\) de la somme \(S\) ainsi obtenue.
La somme \(S\) peut-elle prendre toutes les valeurs entières entre \(m\) et \(M\) ?

Il est facile de voir que le minimum est obtenu en basculant 2 puis 1 et en recommençant cela 1006 fois, donc que \(m=3018\). De même 4 puis 3 répété 1006 fois donne \(M=7042\).
Tous les intermédiaires peuvent être atteints. Par exemple 3019 avec 3 puis 1 , 2 puis 1 etc. Les suivants ne sont pas plus compliqués.