Exercice 1 — Un professeur d'EPS — Olympiades 2012 Strasbourg

Sujet

Le professeur d'éducation physique et sportive demande aux élèves de son groupe de 24 garçons de se mettre en rangs pour former 6 lignes et 4 colonnes. Tous les garçons sont de tailles différentes.
Il sélectionne alors le plus grand de chaque ligne pour un tournoi de basket-ball et le plus petit de chaque colonne pour une course à cheval.

Un même élève peut-il être sélectionné à la fois comme basketteur et comme cavalier?
Un cavalier peut-il être plus grand qu'un basketteur?

Oui, un élève peut être sélectionné aux deux. Par exemple, disons que les tailles sont de 165 cm à 188 cm . L'élève de 170 cm a dans sa ligne les tailles 169, 168 et 165 et dans sa colonne les tailles \(171,173,175,180\) et 185 . Il sera alors sélectionné aux deux.
Non, ce n'est pas possible. Prenons un basketteur B, de taille \(b\) et un cavalier C, de taille \(c\). Le but est de voir que l'on ne peut pas avoir \(c\) supérieur à \(b\). Si B et C coïncident, alors \(b=c\) (c'est le même individu). Si B n'est pas C , alors \(b\) et \(c\) sont différents (tailles toutes différentes). Alors, si B et C sont sur la même colonne, \(cc\), si B et C ne sont ni sur la même ligne ni la même colonne, notons D celui qui est à l'intersection de la ligne de B et de la colonne de C , alors \(b>d\) et \(d>c\), donc \(b>c\), en notant \(d\) la taille de D .