Sujet
Ci-dessous est présenté un instrument de calcul.
L'objectif de l'exercice est d'en déterminer la fonction.
On considère un repère orthonormé ( \(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}\) ).
A est un point de la demi-droite \([\mathrm{O} ; \vec{i})\), distinct de O et B est un point de la demi-droite \([\mathrm{O} ; \vec{j})\) distinct de O . C est un point de la bissectrice issue de O dans le triangle OAB tel que les points A , B et C soient alignés.
On note \(a\) et \(c\) les abscisses respectives des points A et C dans le repère ( \(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}\) )
On note \(b\) l'ordonnée du point B dans le repère ( \(\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}\) ).
- a) Démontrer que \(c=\frac{a b}{a+b}\)
b) En déduire que \(\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) - Expliquer alors l'usage que l'on peut faire de l'instrument de calcul représenté ci-dessus.
- a) \(\mathrm{A}(a ; 0)\) et \(\mathrm{B}(0 ; b)\) donc (AB) admet pour équation réduite : \(y=-\frac{b}{a} x+b\). C appartient à la droite d'équation : \(y=x\) donc C a pour coordonnées \((c ; c) \mathrm{C}\) appartient à la droite (AB) donc \(c=-\frac{b}{a} c+b\), puis \(c=\frac{a b}{a+b}\).
b) \(\frac{1}{c}=\frac{a+b}{a b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\). - Le diagramme précédent, appelé abaque ou bien encore nomogramme de la relation \(\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) permet de lire, au point d'intersection des deux droites, la valeur de l'inverse de la somme des inverses de \(a\) et \(b\).