Olympiades · Académie Rouen et AEFE Afrique · 2012 · Toutes séries
AlgorithmiqueÉquations / FonctionsProbabilités
Pierre se présente devant une machine à algorithmes.
La machine lui demande de choisir un réel \(x\) au hasard.
La machine applique alors à \(x\) l'un des deux algorithmes suivants.
Dans deux cas sur trois, elle choisit l'algorithme \(\mathrm{n}^{\mathrm{o}} 1\) et donc, dans un cas sur trois, l'algorithme \(\mathrm{n}^{\mathrm{o}} 2\).
| Algorithme 1 | Algorithme 2 |
| VARIABLES | VARIABLES |
| \(x\) EST\_DU\_TYPE\_NOMBRE | \(x\) EST\_DU\_TYPE\_NOMBRE |
| \(y\) EST\_DU\_TYPE\_NOMBRE | \(y\) EST \_DU\_TYPE\_NOMBRE |
| DEBUT\_ALGORITHME | DEBUT\_ALGORITHME |
| LIRE \(x\) | LIRE \(x\) |
| \(y\) PREND\_LA\_VALEUR \(x-1\) | \(y\) PREND\_LA\_VALEUR \(x-1\) |
| \(y\) PREND\_LA\_VALEUR \(y \times y\) | \(y\) PREND\_LA\_VALEUR \(6: y\) |
| \(y\) PREND\_LA\_VALEUR \(y-5\) | \(y\) PREND\_LA\_VALEUR \(2+y\) |
| AFFICHER \(y\) | AFFICHER \(y\) |
| FIN\_ALGORITHME | FIN\_ALGORITHME |
Quelle est la probabilité que la machine affiche 8 ?
2. La machine affiche -4 .
Quels nombres Pierre a-t-il pu entrer ?
3. a) Exprimer en fonction de \(x\) la valeur de \(y\) obtenue à l'affichage de l'algorithme 1 .
On notera \(f(x)\) cette expression.
b) Exprimer en fonction de \(x\) la valeur de \(y\) obtenue à l'affichage de l'algorithme 2 .
On notera \(g(x)\) cette expression.
4. Pierre choisit un nombre au hasard dans l'intervalle \([-5 ; 5]\) et l'introduit dans la machine.
Quelle est la probabilité que le nombre affiché par la machine se trouve dans l'intervalle \([-4 ; 4]\) ?
Avec l'algorithme \(2: 2 \longrightarrow 1 \longrightarrow 6 \longrightarrow 8\).
Or la machine choisit l'algorithme 2 avec une probabilité de \(\frac{1}{3}\);
donc la probabilité que la machine affiche 8 est \(\frac{1}{3}\).