Exercice 3 — Les amies — Olympiades 2012 Rennes

Sujet

Aziliz, Bleuenn, Clervie, Diana et Enora sont toutes dans la même classe.
On s'intéresse aux relations d'amitié entre elles. On considère qu'une fille ne peut pas être sa propre amie et que l'amitié est réciproque (ce qui signifie que : si A est une amie de B alors B est une amie de A ).
Monsieur Kontan, leur professeur de mathématiques fait les observations suivantes :
a) Aziliz est une amie de Diana et Clervie n'a qu'une seule amie.
b) Aziliz a exactement deux amies et une des amies d'Aziliz est une amie de Diana.
c) Clervie et Aziliz ont les mêmes amies et Diana et Enora ne sont pas amies.
d) Bleuenn est une amie d'Aziliz et Enora est une amie de Clervie.
e) Diana n'a pas d'amie et Clervie est une amie de Bleuenn.

Montrer que Monsieur Kontan se trompe au moins une fois, c'est-à-dire que l'une au moins des cinq observations précédentes est fausse.
Montrer que si l'observation e) est vraie, alors il y a au moins deux des quatre observations restantes qui sont fausses.
Montrer que, dans tous les cas, Monsieur Kontan s'est trompé au moins deux fois dans ses observations.
On suppose, pour la suite de l'exercice, que Monsieur Kontan s'est trompé exactement deux fois.

Madame Skrivan, leur professeure de français (qui elle ne se trompe pas) observe ce groupe de cinq filles et annonce l'affirmation notée f) :
f) «Chaque fille a au moins une amie, aucune n'est amie avec toutes les autres et il y a exactement une fille du groupe qui a exactement trois amies dans le groupe . »
4. Combien Enora a-t-elle d'amies dans le groupe? (on pourra étudier tous les cas possibles).

On notera : A pour Aziliz, B pour Bleuenn, C pour Clervie, D pour Diana et E pour Enora.

On remarque que les propositions a) et e) ne peuvent être vraies en même temps car si a) est vraie, D a une amie qui est A et si e) est vraie, D n'a pas d'amie. Monsieur Kontan s'est donc trompé au moins une fois.
Supposons que l'affirmation e) soit vraie. Alors, D n'a pas d'amie donc a) (d'après 1) et b) (« Une des amies de A est une amie de D ») sont toutes deux fausses. Ainsi Monsieur Kontan s'est trompé au moins deux fois.
Si e) est vraie, d'après ce qui précède, le professeur s'est trompé au moins deux fois. Supposons que Monsieur Kontan ne se soit trompé qu'une seule fois. Alors e) est fausse et donc, a), b), c) et d) sont toutes les 4 vraies. D'après a), C n'a qu'une seule amie, d'après b), A a deux amies. Or d'après