Sujet
C'est la semaine des défis mathématiques dans le lycée Al Gorismus. Le savant Calculator est invité à cette occasion à faire une démonstration de ses talents.
Il annonce ainsi aux élèves présents :
«On dit que le carré d'un nombre \(b\) est un quasi-double du carré d'un nombre \(a\) si le carré de \(b\) est égal au double du carré de \(a\) à 1 unité près . »
Pour mieux se faire comprendre, Calculator donne des exemples :
Le carré de 3 est un quasi-double du carré de 2 car \(2 \times 2^{2}=3^{2}-1\).
De même, le carré de 41 est un quasi-double du carré de 29 car \(2 \times 29^{2}=41^{2}+1\).
Puis, le défi est lancé par Calculator :
«Je vous donne une journée pour me dire si cette affirmation est vraie ou fausse :
Le carré de 318281039 est un quasi-double du carré de 225058681 ».
Martin, surnommé le petit génie de l'algorithmique, est bien décidé à relever ce défi.
Rentré à la maison, il commence à chercher et constate alors que sa calculatrice ne lui donne pas directement le résultat.
Qu'à cela ne tienne! Il l'utilise tout de même pour construire un tableau donnant tous les couples d'entiers inférieurs à 100 dont le carré de l'un est un quasi-double du carré de l'autre.
Martin suppose ensuite que le carré de \(b\) est un quasi-double du carré de \(a, a\) et \(b\) étant des entiers naturels tous deux non nuls. Il établit alors un procédé qui, à partir du couple ( \(a, b\) ), lui permet d'obtenir d'autres couples vérifiant la même propriété. Il faut dire que le tableau précédent l'a aidé à formuler une conjecture pour ce travail.
Le reste de la recherche, il en fait son affaire Martin peut dormir tranquille, il va pouvoir répondre au défi du savant Calculator.
Question : Retrouver la démarche qu'a pu suivre Martin (ou bien en proposer une autre qu'il aurait pu suivre) afin de relever le défi du savant Calculator.
- Dans le tableau ci-dessous, le carré de \(b\) est un quasi-double du carré de \(a\) :
| \(a\) | 0 | 1 | 2 | 5 | 12 | 29 | 70 |
| \(b\) | 1 | 1 | 3 | 7 | 17 | 41 | 99 |
(En utilisant la table de la calculatrice, puis vérification des arrondis)
- Procédé qui à partir du couple \((a, b)\) permet d'obtenir d'autres couples vérifiant la même propriété : \(b\) quasi-double de \(a\) avec \(a \geqslant 1\) et \(b \geqslant 1\).
Conjecture : d'après le tableau, si on note \(a^{\prime}\) le successeur de \(a\) et \(b^{\prime}\) le successeur de \(b\), ou bien \(\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)\) couple successeur de \((a, b)\). Il semble alors que Changeons de notation : en considérant un couple ( \(a, b\) ) fixé de qussi-double et en notant ( \(a\) ", \(b\) ") son prédécesseur, on a \(\left\{\begin{aligned} a " & =b-a \\ b " & =2 a-b\end{aligned}\right.\). Saisie : \(a\) et \(b\) Sortie : Si \(\mathrm{u}=1\) et \(\mathrm{v}=1\), afficher ( \(a, b\) ) quasi-double
(S) \(\left\{\begin{aligned} a^{\prime} & =a+b \\ b^{\prime} & =2 a+b\end{aligned}\right.\) On vérifie \(\left(b^{\prime}\right)^{2}-2\left(a^{\prime}\right)^{2}=2 a^{2}-b^{2}= \pm 1\)
et on a \(a^{\prime}>a\) car \(b \geqslant 1\) et \(b^{\prime}>b\) car \(a \geqslant 1\).
En inversant le système (S), on a \(\left\{\begin{aligned} a & =b^{\prime}-a^{\prime} \\ b & =2 a^{\prime}-b^{\prime}\end{aligned}\right.\)
Si \(\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)\) fixé d'après le tableau, \(\left\{\begin{aligned} a^{\prime} & \geqslant 2 \\ b & \geqslant 3\end{aligned}\right.\), alors \((a, b)\) est un prédécesseur de \(\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)\) et, d'après l'étude précédente, \(a
Comme \(a "
Rangement de \(a\) et \(b: \mathrm{u}\) prend la valeur \(\operatorname{Min}(a, b)\) et v prend la valeur \(\operatorname{Max}(a, b)\)
L est la liste [ \(u\); \(v\) ]
Traitement : tant que \(\mathrm{u}>1\), faire : w prend la valeur u
t prend la valeur v
u prend la valeur \(\mathrm{t}-\mathrm{w}\)
v prend la valeur \(2 \mathrm{w}-\mathrm{t}\)
L prend la valeur ( \(\mathrm{u}, \mathrm{L}, \mathrm{v}\) )
Sinon, afficher \(2 a^{2}-b^{2}, 2 b^{2}-a^{2}\)
Et en conclusion,
Le carré de 318281039 est un quasi-double de 225058681.