Olympiades · Académie Reims · 2012 · Séries autres que S
Suites
Paul attend Virginie qui n'arrive pas.
La première fois, il décide de l'attendre encore une demi-heure mais elle n'arrive pas.
Il décide de l'attendre encore un peu, durant moitié moins de temps (soit \(1 / 4\) d'heure) mais elle n'arrive pas.
Il décide de l'attendre encore un peu, durant moitié moins de temps (soit \(1 / 8\) d'heure) mais elle n'arrive pas.
Il décide de l'attendre encore un peu, durant moitié moins de temps (soit \(1 / 16\) d'heure) mais elle n'arrive pas.
Il décide de l'attendre encore un peu, durant moitié moins de temps (soit \(1 / 32\) d'heure) mais elle n'arrive pas.
Et ainsi de suite...
Paul va-t-il attendre indéfiniment Virginie? Sinon, combien de temps au total va-t-il attendre?
La seconde fois Paul attend Virginie une demi-heure, mais elle n'arrive pas !
Paul l'attend encore une demi-heure mais elle n'arrive pas.
Paul l'attend encore \(1 / 3\) d'heure mais elle n'arrive pas.
Paul l'attend encore \(1 / 4\) d'heure mais elle n'arrive pas.
Paul l'attend encore \(1 / 5\) d'heure mais elle n'arrive pas.
Paul l'attend encore \(1 / 6\) d'heure mais elle n'arrive pas.
Paul l'attend encore \(1 / 7\) d'heure mais elle n'arrive pas.
Paul l'attend encore \(1 / 8\) d'heure mais elle n'arrive pas.
Paul l'attend encore \(1 / 9\) d'heure mais elle n'arrive pas.
Paul l'attend encore \(1 / 10\) d'heure mais elle n'arrive pas.
Et ainsi de suite...
Montrer, sans faire le calcul, que :
\[ \frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}>\frac{1}{2} \]
Paul va-t-il attendre indéfiniment Virginie?
Paul semble parti pour attendre une heure au total.
Et on peut le prouver ainsi, en partant de l'idée qu'il a une heure à passer à attendre Virginie :
\(1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\) donc il lui reste ensuite une demi-heure à attendre
Puis \(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\) donc il lui reste ensuite un quart d'heure à attendre.
Puis \(\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}\) donc il lui reste ensuite un huitième d'heure à attendre
Le fait est que si l'on démarre avec l'idée qu'il attendra une heure, le temps qu'il attend à une étape