Exercice 2 — Construction par origami d'une racine cubique

Sujet

L'origami est l'art japonais du pliage du papier.
On admet que le pliage suivant est réalisable : étant données deux droites perpendiculaires, et deux points non situés sur ces droites, il existe un pliage envoyant un des points sur une des droites, et l'autre point sur l'autre droite.
L'exercice donne une application de ce pliage à la construction d'une racine cubique.
Soit \(m\) un réel non nul.
Dans un repère orthonormé, on considère le point A de coordonnées \((1 / 2, m)\) et le point B de coordonnées \((1, m / 2)\). Soit un pliage envoyant A sur un point A' de l'axe des abscisses de coordonnées ( \(a, 0\) ), et B sur un point \(\mathrm{B}^{\prime}\) de l'axe des ordonnées de coordonnées \((0, \mathrm{~b})\).
Les droites ( \(\mathrm{AA}^{\prime}\) ) et ( \(\mathrm{BB}^{\prime}\) ) sont donc parallèles et soit \(p\) leur coefficient directeur.

1. Calculer \(a\) et \(b\) en fonction de \(m\) et \(p\).
2. Soit \(\mathrm{A}^{\prime \prime}\) le milieu de [AA'], et \(\mathrm{B}^{\prime \prime}\) le milieu de \(\left[\mathrm{BB}^{\prime}\right]\). Calculer le coefficient directeur de la droite \(\left(\mathrm{A}^{\prime \prime} \mathrm{B}^{\prime \prime}\right)\).
3. En déduire que que \(p^{3}=m\). On utilisera, sans le démontrer, le fait que deux droites non parallèles aux axes de coordonnées sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à 1 .
4. Soit H la projection orthogonale de B sur l'axe des ordonnées. Prouver que \(\left(B^{\prime} H\right)^{3}=m\) (utiliser le résultat de la question précédente). Faire une figure.