Sujet
On considère un cercle \((C)\) de centre O et de diamètre \([\mathrm{AB}]\), un point M de \((C)\) et son projeté orthogonal H sur [AB].
- Soient \(a\) et \(b\) deux réels positifs, on appelle « moyenne arithmétique de \(a\) et \(b \gg\) le nombre \(\frac{a+b}{2}\) et « moyenne géométrique de \(a\) et \(b \gg\) le nombre \(\sqrt{a \times b}\).
Montrer que \(O M\) et \(M H\) sont respectivement les moyennes arithmétique et géométrique de \(A H\) et \(H B\). - Montrer que le cercle de centre A et de rayon \(M H\) est tangent à la droite (OM).
- On considère maintenant que le cercle ( \(C\) ) a pour rayon 10. Existe-t-il une position de M sur ( \(C\) ) telle que l'aire du triangle OHM soit égale à 20 ?
- Comme \(\mathrm{A}, \mathrm{H}\) et B sont alignés dans cet ordre, \(A H+H B=A B\). De plus, \(A B\) est un diamètre et \(O M\) un rayon du cercle, donc \(A B=2 O M\), d'où \(O M=\frac{1}{2}(A H+H B)\).
Pour \(M H=\sqrt{A H . H B}\), plusieurs méthodes.
Théorème de Pythagore
Dans le triangle AHM rectangle en \(\mathrm{H}, A M^{2}=M H^{2}+A H^{2}\).Dans le triangle BHM rectangle en \(\mathrm{H}, B M^{2}=M H^{2}+H B^{2}\).
Comme M est sur le cercle \((C)\), de diamètre \([\mathrm{AB}]\), le triangle AMB est rectangle en M et \(A M^{2}+M B^{2}=A B^{2}\).
Ainsi \(A B^{2}=\left(M H^{2}+A H^{2}\right)+\left(M H^{2}+H B^{2}\right)=A H^{2}+2 M H^{2}+H B^{2}\).
En outre, \(A B=A H+H B\) donc, en élevant au carré, \(A B^{2}=A H^{2}+2 A H . H B+H B^{2}\). En comparant les deux expressions de \(A B^{2}\), on obtient \(M H^{2}=A H . H B\) d'où \(M H=\sqrt{A H . H B}\).
Trigonométrie
Notons \(R\) le rayon du cercle ( \(C\) ) et \(\theta\) l'angle géométrique \(\widehat{H O M}\).Alors \(M H=R \sin \theta\) et \(O H=R \cos \theta\).