Exercice 1 — Une équation fonctionnelle — Olympiades 2012 Polynésie

Sujet

On suppose qu'il existe une fonction \(f\) définie sur l'ensemble des entiers naturels \(\mathbb{N}\) vérifiant la propriété : (E) : pour tous \(x\) et \(y\) de \(\mathbb{N}, f(x+y)=f(x) f(y)-x y\).

Le but de cet exercice est de déterminer toutes les fonctions \(f\) vérifiant la propriété ( E ).

Préliminaire

Démontrer que \(f(0)=1\). On pourra admettre les résultats dans les parties suivantes.
A. Étude d'un premier exemple : on suppose ici que \(f(1)=3\).

Calculer \(f(2)\) puis \(f(3)\).
Montrer par deux calculs distincts que \(f(4)=60\) et que \(f(4)=63\). Conclure.
B. Étude d'un second exemple : on suppose ici que \(f(1)=0\).
Calculer \(f(2), f(3)\) et \(f(4)\).
Conjecturer l'expression de \(f(n)\) en fonction de \(n\).
Démontrer cette conjecture.
Prouver que pour la fonction trouvée aux 2. et 3., la propriété (E) est bien vérifiée.

C. Cas général

Première partie : on note \(f(1)=a\).

Exprimer \(f(2)\) et \(f(3)\) en fonction de \(a\).
Exprimer \(f(4)\) en fonction de \(a\) de deux manières différentes.
En déduire que \(a=0\) ou \(a=2\).

Seconde partie : on étudie le second cas, on suppose ici que \(f(1)=2\).
Exprimer \(f(n)\) en fonction de \(n\). (A justifier).

Préliminaire

Pour tout \(x\) réel, \(f(x+0)=f(x) . f(0)-x .0\) et donc pour tout \(x\) réel, \(f(x)[f(0)]=0\).
Pour tout \(x\) réel, \(f(x)=0\) ou \(f(0)=1\).
Montrons qu'on ne peut avoir \(f(x)=0\), pour tout \(x\) réel.
Supposons que \(f(x)=0, f(1+1)=f(1) \cdot f(1)-1 \times 1\) donnerait \(0=-1\), ce qui est impossible. Donc la fonction n'est pas nulle et on a donc \(f(0)=1\).
A.

On suppose que \(f(1)=3\).
\(f(2)=f(1+1)=f(1) \times f(1)-1 \times 1=3 \times 3-1 \times 1=8\).
\(f(3)=f(2+1)=f(2) \times f(1)-2 \times 1=8 \times 3-2 \times 1=22\).
\(f(4)=f(3+1)=f(3) \times f(1)-3 \times 1=22 \times 3-3 \times 1=63\).
\(f(4)=f(2+2)=f(2) \times f(2)-2 \times 2=8 \times 8-2 \times 2=60\).
Il y a donc contradiction, d'où \(f\) n'existe pas si \(f(1)=3\).