Exercice 3 — Robinson

Sujet

Robinson, oublié sur son île, occupe son lundi après-midi d'été en traçant des nombres (des entiers naturels) sur le sable. Il écrit le nombre qu'il a choisi, puis, en dessous il écrit le nombre suivant qui doit décrire la composition en chiffres du nombre qu'il vient d'écrire en comptant le nombre d'apparitions des différents chiffres de 9 à 0 (dans cet ordre).
Par exemple, si le nombre choisi par Robinson est 2040 , ce nombre est composé d'un 4 , un 2 , deux 0 (on énumère les chiffres de 2040 dans l'ordre décroissant), ce qui signifie que Robinson va tracer en dessous le nombre un-4-un-2-deux-0, c'est-à-dire : 141220.
Vous pouvez vérifier que le troisième nombre sera 14222110.

1. Quel sera le quatrième nombre tracé par Robinson?
2. Robinson continue à rainurer le sable puis constate qu'après quelques étapes supplémentaires, il écrit toujours le même nombre. Lequel?
3. Le mardi, la nuit ayant porté conseil et la marée ayant effacé la plage, Robinson choisit un nouveau nombre de telle sorte que le nombre suivant soit égal au premier. Il vérifie avec satisfaction que ce nombre est même le plus petit possible à posséder cette propriété. Quel est ce nombre?
4. Le mercredi, Robinson trace une colonne de quatre nombres, mais une vague recouvre les trois premiers. Le quatrième est son année de naissance : 1632. Quel était le premier? Comme il y a de nombreuses solutions, donnez simplement la plus petite et la plus grande d'entre elles et déterminez le nombre de solutions.
5. Le jeudi, Robinson trace un premier nombre (notons-le \(a\) ), puis le nombre suivant (notons-le \(b\), qui est différent de \(a\) ), mais quand il écrit le troisième, il constate avec émerveillement qu'il est identique au nombre \(a\). Combien vaut \(a\) ?
   Cette question a plusieurs solutions, mais serez-vous capable de trouver la plus petite valeur possible du nombre \(a\) ?
   Le vendredi, Robinson trouve une trace de pas dans le sable...