Exercice 2 — Une fonction sur les entiers

Sujet

Soit \(N_{1000}\) l'ensemble des nombres entiers compris entre 1 et 999.
On définit sur \(N_{1000}\) la fonction \(F\) de la manière suivante : si \(n\) appartient à \(N_{1000}\), on remplace chaque chiffre \(a\) de l'écriture décimale de \(n\) par \(2 a+2\), qui est un nombre à un ou deux chiffres. Le nombre \(F(n)\) est alors obtenu en écrivant à la suite ces nombres.
Par exemple, si \(n=3\), il y a un seul chiffre \(a=3\) qui est remplacé par \(2 \times 3+2=8\). Donc \(F(3)=8\).
Si \(n=47\), on remplace le chiffre 7 par \(2 \times 7+2=16\), le chiffre 4 par \(2 \times 4+2=10\), donc \(F(47)=1016\) (10 suivi de 16).
De même, \(F(526)=12614\) ( 12 suivi de 6 suivi de 14).

Calculer \(F(857)\).
On suppose, dans cette question seulement, que \(n\) est un nombre à deux ou trois chiffres : \(n=c d u\) ( \(u\) est le chiffre des unités, \(d\) est celui des dizaines et \(c\) celui des centaines). On note \(n^{\prime}\) le nombre à un ou deux chiffres \(c d\) obtenu en retirant de l'écriture de \(n\) le chiffre des unités.

Par exemple, si \(n=47, n^{\prime}=4\); si \(n=247, n^{\prime}=24\).
Montrer que \(F(n)=10 F\left(n^{\prime}\right)+F(u)\) ou \(F(n)=100 F\left(n^{\prime}\right)+F(u)\). Préciser, en fonction de la valeur de \(u\), quelle égalité on doit utiliser.
3. Montrer que l'équation \(F(n)=3 n\) a trois solutions.

Indication : Commencer par déterminer le chiffre \(u\) des unités de \(n\), puis chercher \(n^{\prime} \ldots\)
4. L'équation \(F(n)=5 n\) a-t-elle des solutions?
5. Résoudre l'équation \(F(n)=23 n\).

\(F(857)=181216\).
Supposons que \(c\) est non nul (le raisonnement est analogue et plus vite écrit si \(c=0\) ). Notons \(U=2 u+2, D=2 d+2\) et \(C=2 c+2\). Les nombres \(C, D\) et \(U\) ont un ou deux chiffres et le nombre \(F(n)\) s'écrit \(C D U\) qui peut avoir entre trois et six chiffres.
Supposons par exemple que \(C\) et \(D\) ont respectivement pour écriture décimale \(c_{1} c_{2}\) et \(d_{1} d_{2}\). Si \(U\) a un seul chiffre \(u_{1}\), l'écriture décimale de \(F(n)\) est \(c_{1} c_{2} d_{1} d_{2} u_{1}\). Ce nombre vaut \(10 \times c_{1} c_{2} d_{1} d_{2}+u_{1}\). Vu la définition de \(F, c_{1} c_{2} d_{1} d_{2}\) est l'écriture décimale de \(F\left(n^{\prime}\right)\) et \(u_{1}\) celle de \(F(u)\). On a donc \(F(n)=10 F\left(n^{\prime}\right)+F(u)\).
Si \(U\) a deux chiffres \(u_{1} u_{2}\), le nombre \(F(n)\) s'écrit

\[ F(n)=c_{1} c_{2} d_{1} d_{2} u_{1} u_{2}=100 \times c_{1} c_{2} d_{1} d_{2}+u_{1} u_{2}=100 \times F\left(n^{\prime}\right)+F(u) \]

Ceci prouve le résultat demandé. La première formule s'applique quand \(2 u+2\) n'a qu'un chiffre; c'est-à-dire quand \(0 \leqslant u \leqslant 3\), la deuxième quand il a deux chiffres, pour \(4 \leqslant u \leqslant 9\).
3. Premier cas : si \(n\) n'a qu'un chiffre, \(F(n)=2 n+2\) et vaut \(3 n\) si et seulement si \(n=2\).

Deuxième cas : si \(n\) a deux chiffres : \(n=d u\), le chiffre des unités de \(F(n)\) est le chiffre des unités de \(2 u+2\). Le chiffre des unités de \(3 n\) est le chiffre des unités de \(3 u\). En écrivant côte-à-côte ces deux