Exercice 1 — Une calculatrice cassée

Sujet

On dispose d'une calculatrice cassée. Quand on l'allume, elle affiche 0 et se trouve en mode degré. Les touches numériques ne fonctionnent pas; les seules touches qui sont en bon état sont les touches

\(\tan \tan ^{-1

\sin ^{-1}\) et \(\cos ^{-1}\)} On admet que, pour tout \(x \in[0 ; 1], \cos ^{-1}(x) \in[0 ; 90]\) et \(\cos \left(\cos ^{-1}(x)\right)=x\)
On admet que, pour tout \(x \in\left[0 ;+\infty\left[, \tan ^{-1}(x) \in\left[0 ; 90\left[\right.\right.\right.\right.\) et \(\tan \left(\tan ^{-1}(x)\right)=x\).
Exemple de séquence de calcul avec cette calculatrice :
Si on allume la calculatrice : elle affiche 0 ;
si on tape alors sur la touche , elle affiche 1;
et si on tape sur la touche \(\tan ^{-1}\), elle affiche 45.

1. Montrer que, pour tout \(z \in] 0,1], g(z)=\tan \left(\cos ^{-1}(z)\right)=\frac{\sqrt{1-z^{2}}}{z}\).
2. Montrer que, pour tout \(x \in\left[0,+\infty\left[, f(x)=\sin (\tan (x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\right.\right.\).
3. On utilise l'algorithme suivant :

Début
    Choisir : un entier \(n>1\)
    Allumer la calculatrice
    Taper sur la touche \(\overline{\cos }\);
    Pour \(i\) allant de 1 à \(n^{2}-1\) faire
        Taper sur la touche \(\tan ^{-1}\);
        Taper sur la touche
    Fin pour
Fin

Quel résultat obtient-on à l'écran de la calculatrice après avoir appliqué cet algorithme pour \(n=\) 1000 ?
4. Comment peut-on obtenir le nombre entier 2012 à l'écran?