Exercice 2 — Accrochez les wagons — Olympiades 2012 Orléans-Tours

Sujet

Dans cet exercice, l'unité de masse sera la tonne et l'unité de longueur le mètre.

Un convoi ferroviaire est constitué de N wagons choisis parmi deux types :

Wagons de type A : longueur 20 , masse totale 60 ;
Wagons de type B : longueur 30 , masse totale 100

Un convoi de cinq wagons peut être symbolisé par une écriture du type ( \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{A}, \mathrm{A}, \mathrm{B}\) ), désignant les wagons dans l'ordre du convoi.
Ainsi les deux convois de trois wagons symbolisés par ( \(\mathrm{A}, \mathrm{A}, \mathrm{B}\) ) et ( \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{A}\) ) sont considérés comme distincts. On note \(L\) la longueur totale du convoi, qui ne tient pas compte des espaces entre les wagons, ni des motrices.

un convoi de longueur 310 admettant exactement N wagons.
a) Pour quelle valeur de \(N\) ce convoi a-t-il une masse totale maximum?
b) De combien de façons distinctes peut-on former un convoi répondant aux conditions de la question précédente?
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(u_{n}\) le nombre de convois distincts de longueur \(L=10 \times n\). Ainsi, \(u_{5}\) désigne le nombre de convois distincts de longueur 50 .
a) Déterminer \(u_{10}\), c'est-à-dire le nombre de convois distincts de longueur 100 .
b) Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant

\(n\)	2	3	4	5	6	7
\(u_{n}\)

c) Calculer \(u_{8}\) à l'aide du tableau précédent en remarquant que tout convoi de longueur 80 se termine par un wagon B .
d) Retrouver la valeur de \(u_{10}\), puis calculer \(u_{15}\) et \(u_{20}\).
3. Écrire un algorithme en langage naturel, permettant de calculer \(u_{n}\), lorsque l'on saisit une valeur de \(n\).

a) Notons \(x\) le nombre de wagons de type A et \(y\) celui de type B : on a donc \(20 x+30 y=320\). La masse totale \(M=60 x+100 y=960+10 y\) est maximum lorsque \(y\) est maximum. On sait que \(2 x+3 y=32\) donc \(0 \leqslant y \leqslant 10\). Donc \((x=1, y=10, N=11, M=1960)\) est la seule solution du problème avec \(20 x+30 y=320\), La masse totale \(M=60 x+100 y=930+10 y\) est maximum lorsque \(y\) est maximum.
On sait que \(2 x+3 y=31\) donc \(0 \leqslant y \leqslant 10\). Donc ( \(x=2, y=9, N=11, M=1830\) ) est la seule solution du problème
b) avec \(20 x+30 y=320\), il faut choisir la position du wagon de type A parmi les 11 wagons, soit 11 compositions possibles.
Avec \(20 x+30 y=310\), il faut choisir la position de deux wagons de type A parmi les 11 wagons, soit \(10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55\) compositions possibles.