Sujet
On rappelle que pour tout entier \(n \geqslant 1\), la somme des entiers de 1 à \(n\) est donnée par
\[ 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} \]
Le plan est muni d'un repère orthonormal d'origine O .
On considère des cercles tous centrés sur l'axe des abscisses et définis de la manière suivante :
- Le cercle \(C_{1}\) passe par le point O et a pour rayon 1 ;
- le cercle \(C_{2}\) est tangent extérieurement au cercle \(C_{1}\) et a pour rayon 2;
- le cercle \(C_{3}\) est tangent au cercle \(C_{2}\) et a pour rayon 3 ;
- et plus généralement, pour tout entier \(n \geqslant 2\), le cercle \(C_{n}\) est tangent extérieurement au cercle \(C_{n-1}\) et a pour rayon \(n\).
Pour tout entier \(n \geqslant 1\), on désigne par \(\mathrm{A}_{n}\) le centre du cercle \(C_{n}\) et par \(x_{n}\) l'abscisse du point \(\mathrm{A}_{n}\). On rappelle que les cercles sont centrés sur l'axe des abscisses et on suppose le repère choisi de telle sorte que tous les nombres réels \(x_{n}\) soient positifs.
- a) Calculer les abscisses \(x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}\) respectivement des points \(\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2} \ldots \mathrm{~A}_{n}\).
b) Conjecturer l'expression, pour tout entier \(n \geqslant 1\) de \(x_{n}\) en fonction de \(n\).
c) Validez votre conjecture par une démonstration. - On désigne par \(\Delta\) une droite passant par le point O et tangente au cercle \(C_{5}\).
a) Construire \(\Delta\) sur la feuille donnée en annexe. Justifier la construction.
b) On considère les points suivants :
- T le point de contact de la droite \(\Delta\) avec le cercle \(C_{5}\);
- \(\mathrm{P}_{3}\) et \(\mathrm{Q}_{3}\) les deux points d'intersection de la droite \(\Delta\) et du cercle \(C_{3}\);
- \(\mathrm{P}_{4}\) et \(\mathrm{Q}_{4}\) les points d'intersection de la droite \(\Delta\) et du cercle \(C_{4}\).
Démontrer que les cordes \(\left[\mathrm{P}_{3} \mathrm{Q}_{3}\right]\) et \(\left[\mathrm{P}_{4} \mathrm{Q}_{4}\right]\) ont la même longueur. On pourra considérer les points \(\mathrm{I}_{3}\) et \(\mathrm{I}_{4}\) milieux respectifs de ces deux segments.
3. Dans cette question, on considère un entier naturel \(n \geqslant 2\) et les \(n\) cercles de \(C_{1}\) à \(C_{n}\). Une droite \(\Delta\) passant par le point O et tangente au cercle \(C_{n}\) définit des cordes sur chacun des cercles \(C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{n-1}\)
a) Pour tout entier \(k\) tel que \(1 \leqslant k \leqslant n-1\), on désigne par \(\mathrm{P}_{k}\) et \(\mathrm{Q}_{k}\) les deux points d'intersection de la droite \(\Delta\) et du cercle \(C_{k}\). Démontrer que \(P_{k} Q_{k}=\frac{2 k}{n} \sqrt{n^{2}-k^{2}}\).
b) Démontrer que, parmi les \(n-1\) cordes \(\left[\mathrm{P}_{k} \mathrm{Q}_{k}\right]\), , il en existe au moins deux qui ont la même longueur si et seulement si \(n^{2}\) est la somme des carrés de deux entiers.
c) Pour \(n=6\), une droite \(\Delta\) passant par le point O et tangente au cercle \(C_{6}\) définit des cordes sur chacun des cercles \(C_{1}, C_{2}, \ldots C_{5}\). Parmi ces cinq cordes, en existe-t-il deux qui ont la même longueur?
d) Et pour \(n=10\) ?
- a) \(x_{1}=1, x_{2}=4, x_{3}=9, x_{4}=16, x_{5}=25, x_{6}=36\).
b) Conjecture : pour tout entier \(n \geqslant 1, x_{n}=x^{2}\).
c) La relation est vérifiée pour \(x=1\).
Dans le cas \(n \geqslant 2\).
Si on désigne par \(r_{n}\) le rayon du cercle \(C_{n}\), on a \(x_{n}=O A_{n}=2 r_{1}+2 r_{2}+\cdots+2_{n-1}+r_{n}\).
D'après la formule rappelée au début de l'énoncé : \(x_{n}=(n-1) n+n=n^{2}\).
2. a) Le triangle \(\mathrm{OTA}_{5}\) étant rectangle en T , le point T appartient au cercle de diamètre \(\left[\mathrm{OA}_{5}\right]\). Il est donc le point d'intersection autre que O de ce cercle et de la droite \(\Delta\).
b) Les droites \(\left(\mathrm{I}_{3} \mathrm{~A}_{3}\right),\left(\mathrm{I}_{3} 4 \mathrm{~A}_{4}\right)\) et \(\left(\mathrm{TA}_{5}\right)\) sont parallèles puisque toutes les trois perpendiculaires à la droite \(\Delta\). On peut donc appliquer le théorème de Thalès dans les triangles \(\mathrm{OTA}_{5}, \mathrm{OI}_{3} \mathrm{~A}_{3}\) et \(\mathrm{OI}_{4} \mathrm{~A}_{4}\).
On obtient \(\frac{I_{3} A_{3}}{O A_{3}}=\frac{I_{4} A_{4}}{O A_{4}}=\frac{T A_{5}}{O A_{5}}\). D'où \(I_{3} A_{3}=O A_{3} \times \frac{T A_{5}}{O A_{5}}\) et \(I_{4} A_{4}=O A_{4} \times \frac{T A_{5}}{O A_{5}}\), ce qui donne \(I_{3} A_{3}=9 \times \frac{5}{25}=\frac{9}{5}\) et \(I_{4} A_{4}=16 \times \frac{5}{25}=\frac{16}{5}\)
On applique alors le théorème de Pythagore dans les triangles \(\mathrm{A}_{3} \mathrm{I}_{3} \mathrm{Q}_{3}\) et \(\mathrm{A}_{4} \mathrm{I}_{4} \mathrm{Q}_{4}\).
\(I_{3} Q_{3}^{2}=A_{3} Q_{3}^{2}-I_{3} A_{3}^{2}=3^{2}-\left(\frac{9}{5}\right)^{2}=\frac{144}{25}\) et \(I_{4} Q_{4}^{2}=A_{4} Q_{4}^{2}-I_{4} A_{4}^{2}=4^{2}-\left(\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{144}{25}\).
On obtient \(P_{3} Q_{3}=P_{4} Q_{4}=\frac{24}{5}\). Les deux cordes \(\left[\mathrm{P}_{3} \mathrm{Q}_{3}\right]\) et \(\left[\mathrm{P}_{4} \mathrm{Q}_{4}\right]\) ont la même longueur.
3. a) De même qu'au 2.b), on applique le théorème de Thalès dans les triangles \(\mathrm{OTA}_{n}\) et \(\mathrm{OI}_{k} \mathrm{~A}_{k}\).
On obtient \(\frac{I_{k} A_{k}}{O A_{k}}=\frac{T A_{n}}{O A_{n}}\). D'où \(I_{k} A_{k}=O A_{k} \times \frac{T A_{n}}{O A_{n}}=k^{2} \times \frac{n}{n^{2}}=\frac{k^{2}}{n}\).
Puis on applique le théorème de Pythagore dans le triangle \(\mathrm{A}_{k} \mathrm{I}_{k} \mathrm{Q}_{k}\).
\(I_{k} Q_{k}^{2}=A_{k} Q_{k}^{2}-I_{k} A_{k}^{2}=k^{2}-\left(\frac{k^{2}}{n}\right)^{2}=\frac{k^{2}\left(n^{2}-k^{2}\right.}{n^{2}}\). D'où \(P_{k} Q_{k}=2 I_{k} Q_{k}=\frac{2 k}{n} \sqrt{n^{2}-k^{2}}\)