Exercice 2 — On lance un dé

Sujet

On lance quatre fois de suite un dé bien équilibré à 10 faces dont les faces sont numérotées de 0 à 9 .
On obtient ainsi quatre chiffres que l'on note \(a, b, c\) et \(d\) dans leur ordre de sortie.
On forme alors l'entier \(N\) dont l'écriture décimale est abcd.
Exemple 1 : si l'on obtient successivement \(2,0,1\) et 2 avec le dé alors l'entier \(N\) est 2012.
Exemple 2 : si l'on obtient successivement \(0,7,8\) et 3 avec le dé alors l'entier \(N\) est 783 .
a.i.1. Calculer la probabilité que
a) le nombre \(N\) soit strictement supérieur à 2012 .
b) le produit des quatre chiffres de \(N\) soit égal à 20 .
a.i.2. Soit la fonction \(F\) qui à tout entier \(s\) associe le nombre de lancers de quatre dés tels que la somme de ces quatre lancers soit égale à \(s\).
Exemple 1 : \(F(0)=1\) car seule la combinaison 0000 permet d'obtenir une somme égale à 0 .
Exemple 2 : \(F(1)=4\) car seules les quatre combinaisons \(1000,0100,0010\) et 0001 donnent une somme égale à 1 .
a) Déterminer \(F(2)\)
b) Calculer ma probabilité que la somme des quatre chiffres de \(N\) soit égale à 3 .
c) Écrire un algorithme qui calcule et affiche \(F(s)\) pour \(s\) entier donné.
a.i.3. On dit que \(N\) est « croisé » lorsque \(a=c\) et \(b=d\).
a) Quelle est la probabilité que \(N\) soit croisé?
b) Un nombre croisé non nul peut-il être un carré parfait (c'est-à-dire la carré d'un entier)?
a.i.4. Si \(a b c d\) et \(a^{\prime} b^{\prime} c^{\prime} d^{\prime}\) sont les écritures décimales respectives de deux entiers \(N\) et \(N^{\prime}\), on appelle « distance de \(N\) à \(N^{\prime}\) » le nombre \(D=\left(a-a^{\prime}\right)^{2}+\left(b-b^{\prime}\right)^{2}+\left(c-c^{\prime}\right)^{2}+\left(d-d^{\prime}\right)^{2}\).
Déterminer, parmi tous les entiers croisés, tous ceux dont la distance à 2012 est la plus petite possible.