Sujet
Le but de cet exercice est d'étudier le lien entre le centre d'un polygone et l'ensemble des droites qui le partagent en deux parties de même aire.
Le cas du triangle
On considère un triangle quelconque ABC . Le centre du triangle est G , le point d'intersection de ses médianes.- Donner un exemple de droite coupant le triangle en deux parties de même aire. Justifier.
- Toutes les droites passant par G le coupent-elles en deux parties de même aire? Si oui, justifier, si non, donner un contre-exemple.
Le cas du parallélogramme
Soit ABCD un parallélogramme quelconque. Le centre du parallélogramme est O , point d'intersection de ses diagonales- Donner 5 exemples de droites coupant le parallélogramme en deux parties de même aire. Justifier
- Monter que si une droite D ne contient pas le point O , elle ne partage pas le parallélogramme en deux parties de même aire.
- Quel est l'ensemble des droites partageant un parallélo-
gramme en deux parties de même aire?
Le cas du triangle
- N'importe quelle médiane du triangle.
Par exemple, la médiane issue de A coupe le triangle ABC en deux triangles \(\mathrm{ABA}^{\prime}\) et \(\mathrm{AA}^{\prime} \mathrm{C}\).
On remarque que ces deux triangles ont la même hauteur \([\mathrm{AH}]\) issue de A .
L'aire du triangle \(\mathrm{ABA}^{\prime}\) est \(\frac{B A^{\prime} \times A H}{2}\).
L'aire du triangle AA'C est \(\frac{A^{\prime} C \times A H}{2}\).
[0pt]
[AA'] est la médiane issue de A du triangle ABC donc \(\mathrm{A}^{\prime}\) est le
[0pt]
milieu de [BC]. Donc \(B A^{\prime}=A^{\prime} C\). Donc les deux aires sont égales
2. Non.
Par exemple, si on considère la droite ( \(D\) ) parallèle à ( BC ), passant par G et qui coupe \([\mathrm{AB}]\) en M et [AC] en N.
Le triangle ABC est donc un agrandissement du triangle AMN puisqu'ils sont en configuration de
Annexe de l'exercice à rendre avec la copie
Figure 2