Olympiades · Académie Nancy-Metz · 2012 · Toutes séries
AlgorithmiqueArithmétique
Considérons à présent \(A=5 \times 25\). Vérifier que \(A\) s'écrit lui aussi comme la somme des carrés de deux nombres entiers.
Y a-t-il unicité d'une telle écriture?
b) Proposer un autre exemple de produit de deux nombres s'écrivant chacun comme la somme des carrés de deux nombres entiers, et qui s'écrit lui-même comme la somme des carrés de deux nombres entiers.
2. Considérons à présent \(61=5^{2}+6^{2}\) et \(53=2^{2}+7^{2}\). On cherche à déterminer si le produit \(53 \times 61\) peut s'écrire comme la somme des carrés de deux nombres entiers.
Proposer un algorithme permettant de répondre à cette question et de donner une telle écriture.
3. a) Soient \(a, b, c, d\) des entiers choisis arbitrairement. Montrer que le produit \(m \times n\) avec \(n=a^{2}+b^{2}\) et \(m=c^{2}+d^{2}\) peut lui-même s'écrire comme la somme des carrés de deux nombres entiers.
b) Déterminer deux entiers \(e\) et \(f\) tels que : \(53 \times 61=e^{2}+f^{2}\).
Variables
\(A, i, b, c\)
Traitement
A reçoit \(53 \times 61\)
\(i\) reçoit 1
Tant que \(i \leqslant 56\) (en fait partie entière de l'écriture)
Si \(\sqrt{A-i^{2}}=E\left(\sqrt{A-i^{2}}\right)\) (ou si \(\sqrt{A-1^{2}}\) est entier) alors
\(b\) reçoit \(i\)
\(c\) reçoit \(\sqrt{A-1^{2}}\)
Afficher \(A=b^{2}+c^{2}\)
\(i\) reçoit 57 (pour que la boucle s'arrête)
Sinon
\(i\) reçoit \(i+1\)
Fin tant que
3. a) \(n m=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=a^{2} c^{2}+a^{2} d^{2}+b^{2} c^{2}+b^{2} d^{2}\)
\[ \begin{aligned} & =(a c+b d)^{2}-2 a c b d+(a d-b c)^{2}+2 a b d c \\ & =(a c+b d)^{2}+(a d-b c)^{2} \end{aligned} \]
Comme \(a, b, c, d\) sont entiers, \(a c+b d\) et \(a d-b c\) le sont aussi, et donc \(n m\) s'écrit comme somme de deux carrés d'entiers.
b) \(e=a c+b d=5 \times 2+6 \times 7=52\) et \(f=a d-b c=5 \times 7-6 \times 2=23\).
On a bien : \(53 \times 61=52^{2}+23^{2}\).