Exercice 4 — Quitte ou double — Olympiades 2012 Montpellier et Maroc

Sujet

Dans la suite des entiers positifs ci-dessous :

\[ 1,3,4,5,7,9,11,12,13,15,16,17,19, \ldots \]

les entiers qui sont absents, à savoir les nombres \(2,6,8,10,14,18, \ldots\), sont exactement les doubles de ceux qui sont présents.

a) Montrer que les nombres impairs sont tous présents dans le suite
b) Montrer que les nombres de la forme \(2 \times I\) où \(I\) est un nombre impair, sont tous absents de la suite.
c) Montrer que les nombres de la forme \(4 \times I\) où \(I\) est un nombre impair sont tous présenta dans le suite.
d) Que pouvez-vous dire des nombres de la forme \(8 \times I\) ? de la forme \(16 \times I\) ?
On cherche la quantité de nombres inférieurs à 100 dans la suite en complétant le tableau suivant :

Procédez de manière semblable pour trouver le \(2012{ }^{\text {ème }}\) nombre de la suite.

a) Les nombres impairs sont tous présents dans la suite car il manque tous les doubles des présents : on a 1 donc il manque 2 , on a alors 3 donc il manque 6 , on a 4 donc il manque 8 , etc. Aucun impair n'est un double donc il y a tous les impairs.
b) Comme il y a tous les impairs, tous les \(2 I\) sont absents de la suite.
c,d) Comme les \(2 I\) sont absents, les \(4 I\) sont présents, par contre les \(8 I\) seront absents (doubles des \(4 I)\) et les \(16 I\) seront présents, etc.
On cherche la quantité de nombres inférieurs à 100 dans la suite :

On procède de manière semblable pour trouver les \(2012{ }^{\text {ème }}\) nombre de la suite. Par exemple jusqu'à 3000 , on a :