Exercice 2 — Perdre le Nord

Sujet

1. Sur Terre, à la latitude \(\beta\) (en degrés), le cercle parallèle à l'Équateur (appelé parallèle) a pour centre P et pour rayon \(R\) : montrer que lorsqu'on parcourt une distance \(d\) de 1000 km sur ce parallèle entre deux points A et B , une mesure \(\alpha\) de l'angle \(\widehat{A O B}\) est \(\frac{d}{R}\) radians ou \(\frac{180 d}{\pi R}\) degrés.
   
2. Igor Moustaïev part de chez lui à Novosibirsk (latitude \(55^{\circ}\) Nord) faire un tour de Sibérie. Il prend un avion qui le mène plein Nord pendant 1000 km puis il prend un deuxième avion qui l'emmène plein Est pendant 1000 km ; un troisième avion l'emmène vers le Sud pendant 1000 km et, enfin, un quatrième avion se dirigeant vers l'Ouest le ramène chez lui. Quelle est la distance parcourue par le dernier avion?
3. Jésus Martinez rencontre son ami Paco Montaner au Bar des Amis; la température est de \(35^{\circ} \mathrm{C}\). Il lui raconte la mésaventure qu'il vient de vivre : «Figure-toi qu'en déchargeant des caisses, le train dans lequel je travaillais est parti sans prévenir : j'ai fait 200 km vers le Nord, 200 km vers l'Ouest, 200 km vers le Sud et 200 km vers l'Est. . .et je suis revenu à mon point de départ! »
   « Amigo, c'est normal puisque...aaargh...» lui dit Paco en s'écroulant dans un dernier râle, un couteau planté entre les deux épaules...Où habitent Paco et Jésus?