Exercice 1 — Le problème de Dédé

Sujet

On lance deux dés ordinaires : le Tableau 1 suivant présente les résultats possibles du lancer des deux dés ainsi que l'ensemble des valeurs prises par la somme des valeurs obtenues pour les deux dés.

	•	•	-	- -	\(\bullet \bullet\)	\(\begin{array}{lll}\bullet \bullet	\bullet	0
-	0	0\end{array}\)
	2	3	4	5	6	7
	3	4	5	6	7	8
	4	5	6	7	8	9
	5	6	7	8	9	10
	6	7	8	9	10	11
	7	8	9	10	11	12

Tableau 1

Ce tableau conduit au nombre d'apparitions suivants pour chacune des sommes possibles de 2 à 12 :

Somme	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Nombre d'apparitions	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

Tableau 2

Problème :

Le but de cet exercice est de montrer qu'il est possible de fabriquer une autre paire de dés cubiques, équilibrés, qui ne sont pas les dés cubiques ordinaires, permettant de retrouver en les lançant exactement le même tableau que le Tableau 2.

On se donne les règles de construction suivantes, les deux dés n'étant pas forcément identiques :

• Les chiffres figurant sur chaque face sont non nuls,
• les chiffres ne sont pas forcément entre 1 et 6 ,
• on peut répéter le même chiffre sur deux faces différentes.

1. Étude d'un problème plus simple

On considère deux dés à quatre faces (dés tétraédriques réguliers comme sur la figure ci-contre) dont les faces sont marquées avec les chiffres de 1 à 4