Sujet
Trois participants à un jeu télévisé - habiles mathématiciens ! - doivent être départagés à l'aide d'un test de logique. Ils doivent être alignés l'un derrière l'autre et regardent tous devant eux. Pour des raisons d'équité, ils tirent d'abord au sort la place qu'ils occuperont : premier, deuxième ou troisième de la file.
L'animateur dispose de cinq rubans : deux blancs et trois rouges. Il accroche au hasard, au dos de chaque participant, un des cinq rubans. Aucun joueur ne peut voir la couleur de son propre ruban, ni celle(s) du ou des joueurs qui sont derrière lui.
Un joueur gagne s'il peut annoncer de façon certaine la couleur de son ruban.
La règle du jeu est la suivante :
- Si les conditions sont réunies pour qu'un joueur trouve la couleur de son ruban, il est obligé de donner cette couleur sinon il est éliminé et dans ce cas, l'animateur annonce la couleur qu'il avait. Lorsqu'il a un doute raisonnable, le joueur doit se taire.
- Les joueurs peuvent se servir de l'information, ainsi fournie par l'un d'entre eux, pour deviner la couleur du ruban qui leur est attribué.
On suppose que les couleurs annoncées par les joueurs sont toujours exactes.
- Quel joueur semble le plus avantagé? (On n'attend pas de justification précise.)
- De combien de manières différentes peut-on aligner les joueurs?
- Quelle est la probabilité pour l'un des trois joueurs d'être premier de la file? deuxième? troisième?
- L'un des joueurs proteste! Il dit qu'il était inutile de distribuer les rubans car «la position du joueur rend le jeu totalement inégalitaire».
(a) Cette affirmation est-elle exacte? Justifier soigneusement la réponse à l'aide d'un raisonnement logique.
(b) Retrouver les conclusions du a) en utilisant un calcul de probabilités.