Exercice 2 — Billes

Sujet

A - sur un tétraèdre

Deux billes se trouvent sur deux sommets d'un tétraèdre. A chaque étape d'un jeu, les deux billes se déplacent simultanément, de façons aléatoires et indépendantes d'un sommet à un autre en suivant une arrête. Les déplacements possibles sont équiprobables.

A la première étape :

• Si au cours du déplacement, les deux billes se rencontrent sur une arrête, alors le jeu s'arrête et le joueur a perdu.
• Si à l'issue du déplacement, les deux billes se retrouvent sur un même sommet, alors le jeu s'arrête et le joueur a gagné.
• Sinon le jeu continue, et à la deuxième étape, les règles sont les mêmes qu'à la première.
  Si le jeu continue à l'issue de la deuxième étape, la troisième étape sera la dernière et la règle est la suivante :
• Le joueur a gagné si à l'issue du déplacement des deux billes, elles se retrouvent sur un même sommet.
• Le joueur a perdu dans tous les autres cas.

1. (a) Démontrer que la probabilité que le joueur perde après une seule étape est égale à \(\frac{1}{9}\).
   (b) Quelle est la probabilité que le joueur gagne après une seule étape ?
2. (a) Quelle est la probabilité que le jeu s'arrête à l'issue de la seconde étape ?
   (b) Quelle est la probabilité que le joueur gagne à l'issue de la troisième étape ?
3. Quelle est la probabilité que le joueur gagne?

B - sur une pyramide

Dans cette nouvelle version du jeu, les deux billes sont initialement placées sur deux sommets d'une pyramide à base carrée. Par ailleurs, les règles du jeu sont identiques.
On peut alors facilement se convaincre que, tant que le jeu continue, à l'issue d'une étape, les deux billes sont nécessairement placées dans l'une des trois configurations ci-dessous

Configuration A : Les deux billes sont situées sur la base de la pyramide, aux deux extrémités d'une même arête.
Par exemple :